假想的數(shù)字-虛數(shù)

相傳古希臘的數(shù)學家和機械學家海倫最早發(fā)現(xiàn)了平方后值等于-1的數(shù)。但是，關于虛數(shù)是否具有數(shù)學意義，足足讓數(shù)學家們煩惱了1000多年。比如笛卡爾就不相信虛數(shù)的存在，認為它不存在于現(xiàn)實中，而是數(shù)學家假想出來的數(shù)字，所以給它取名“imaginary number”。

復數(shù)真正在數(shù)學中獲得一席之地，主要歸功于高斯。因為高斯提出了將復數(shù)表示為平面內(nèi)的位置。有趣的是，笛卡爾對復數(shù)的存在持懷疑態(tài)度，最終高斯卻是使用他所發(fā)現(xiàn)的笛卡爾坐標給復數(shù)奠定了基礎。表示復數(shù)的平面稱為“復平面”或“高斯平面”。

實數(shù) x 復數(shù)

a \times (c + id) = a\times c + ia \times d
將其帶入高斯平面，即(c,d)變成了(a\times c, a \times d)，即復數(shù)(c, d)到原點的距離伸長了a倍。

虛數(shù) x 復數(shù)

i \times (c+id) = ic - d = -d + ic
將其帶入高斯平面，即(c,d)變成了(-d, c)，相當于(c,d)圍繞原點逆時針旋轉了90度。如果連續(xù)乘以兩次虛數(shù)，相當于旋轉了180度，與乘以-1的結果一致。這同時也證明了i\times i=-1。

復數(shù) x 復數(shù)

(a + ib) \times (c + id) = a \times (c+id) + ib \times (c+id)
假設\tan \theta = b / a，r=\sqrt{a^2 + b^2}，則(a + ib) \times (c + id)相當于(c+id)以原點為中心旋轉\theta度，再伸長r倍。

二次方程的根

只要使用復數(shù)，就能解所有的二次方程。對于任何實數(shù)A,B,C：
Ax^2 + Bx + C = 0
的根等于
x=\frac{-B\pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}
在B^2 - 4AC < 0的情況下，只要將其看作：
x=\frac{-B\pm i\sqrt{4AC-B^2}}{2A}
即可。
即使A,B,C均為復數(shù)，上述公式同樣成立。

實際上，不管是幾次方程，只要使用復數(shù)就能迎刃而解。這也是數(shù)學定理中最重要的定理之一，即“代數(shù)基本定理”。高斯在他22歲時出版的學位論文中成功證明了這條定理。而且，高斯還意識到這條定理的重要性，后來又提出了3種不同的證明方法。最后一次證明是在他72歲的時候，距離第一次證明時隔50年。(敬佩?。?！)

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