微積分共七講，其中上冊(cè)有三講:極限、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)；下冊(cè)有四講:多元微分學(xué)、二重積分、微分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)。
第一講極限。
核心考點(diǎn)有三。
一、極限的定義及性質(zhì)。函數(shù)極限和數(shù)列極限定義學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)翻譯，所有極限的成立，都是在取值范圍內(nèi)的；
掌握遞推法(高階到低階)；數(shù)學(xué)歸納法(從低階到高階)。
討論一個(gè)函數(shù)在定義域上的有界性；
二、重點(diǎn)是極限計(jì)算。十六字方針:化簡(jiǎn)先行、判別類型、使用工具、注意事項(xiàng)。
化簡(jiǎn)先行中等價(jià)無(wú)窮小替換中"抓大頭"，注意找“帶頭大哥”(多項(xiàng)加加減減，找最大的那項(xiàng)，把其他項(xiàng)都甩掉)；離鉛垂?jié)u近線走得越近的人其實(shí)跑無(wú)窮大越慢；恒等變形中數(shù)學(xué)上不喜歡金字塔，因其極其穩(wěn)定，頭重腳輕根蒂淺；
判別類型中只有7種未定式。0·∞型設(shè)置分母有原則，簡(jiǎn)單分母才下放；∞-∞型沒有分母，創(chuàng)造分母。
使用工具中慎用洛必達(dá)，洛必達(dá)法則是求導(dǎo)的結(jié)果存在，原式才存在。帶著參數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果你不知道是幾。若洛必達(dá)失效，反思一下準(zhǔn)備工作有沒有做好(化簡(jiǎn))；在泰勒眼中所有函數(shù)都是冪函數(shù)，包括變上限積分函數(shù)。
注意事項(xiàng)是指總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)。
含參數(shù)的極限綜合題加強(qiáng)訓(xùn)練。
數(shù)列極限計(jì)算:歸結(jié)原則、夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界準(zhǔn)則(注意數(shù)學(xué)歸納法)。出大題會(huì)難!第一問為第二問做鋪墊。
三、極限的應(yīng)用——連續(xù)與間斷。
第二、三講 一元函數(shù)微積分學(xué)。
核心考點(diǎn)有四。
一、定義:導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分、定積分、變限積分、反常積分。
原函數(shù)存在定理:看一個(gè)函數(shù)是否有不定積分，盯著"連續(xù)與間斷"；
函數(shù)可積:看一個(gè)函數(shù)是否有定積分，盯著函數(shù)在有限區(qū)間上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；
根據(jù)被積函數(shù)圖像畫變限積分函數(shù)的圖像，后者斜率是前者的值，后者函數(shù)值對(duì)應(yīng)前者上面的面積。
函數(shù)的奇偶性、周期性、有界性(證誰(shuí)有界，給誰(shuí)加絕對(duì)值；證有界，最后結(jié)果都是常數(shù)，不能有變量)。
定積分精確定義。
變限積分屬于定積分范疇，實(shí)質(zhì)上是取決于x的一個(gè)動(dòng)的面積；變限積分求導(dǎo)公式使用前提:被積函數(shù)中只含積分變量，不含求導(dǎo)變量。
反常積分是定積分之拓展，分為無(wú)窮區(qū)間上的反常積分和無(wú)界函數(shù)的反常積分；判斷反常積分的關(guān)鍵:看奇點(diǎn)；判斷反常積分是否收斂關(guān)鍵:看曲線和直線的接近程度(離水平漸進(jìn)線越近，趨向于0的速度越快；離鉛垂?jié)u進(jìn)線越遠(yuǎn)，跑無(wú)窮大的速度越快)，P積分必考無(wú)疑。
二、計(jì)算。
1、積分。
基本積分公式:三角函數(shù)10個(gè)、分母開方的4個(gè)、分母不開方的4個(gè)。(對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)視絕對(duì)值而不見)
步驟:普京抓主要矛盾求導(dǎo)湊微分；若湊微分失效，針對(duì)復(fù)雜部分作換元處理，先考慮微觀換元法；舉重若輕，宏觀換元法。
華里式公式(點(diǎn)火公式)證明；一個(gè)題目結(jié)合區(qū)間再現(xiàn)公式、換元、點(diǎn)火(華里士)公式。
2、求導(dǎo)。
一般題:復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、隱函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo)、反函數(shù)求導(dǎo)、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法、分段函數(shù)求導(dǎo)；
高階題:泰勒和麥克勞林、萊布妮子(考得少)。
三、應(yīng)用。
1、幾何應(yīng)用。
①導(dǎo)數(shù)性態(tài)——三點(diǎn)兩性一線:極值點(diǎn)與單調(diào)性、拐點(diǎn)與凹凸性、漸進(jìn)線、最值點(diǎn)。
極值點(diǎn)和拐點(diǎn)的判別法一都是看一個(gè)點(diǎn)的左右兩邊導(dǎo)數(shù)符號(hào)，判別法二都是盯著一個(gè)點(diǎn)看，判別法二要會(huì)證明；(求拐點(diǎn)注意抓主要矛盾)
漸近線求解程序有三，其中第一點(diǎn)求定義域是關(guān)鍵，后兩步關(guān)鍵是極限計(jì)算!
求一元函數(shù)最值——閉區(qū)間上比較駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)、端點(diǎn)函數(shù)值；開區(qū)間上不能取端點(diǎn)取極限值。最后比較時(shí)涉及到函數(shù)計(jì)算，如計(jì)算三角函數(shù)值，注意看圖說(shuō)話，如背過(guò)正弦函數(shù)在【0，π】上的四等分面積。
②積分(測(cè)度)
平面圖形面積、旋轉(zhuǎn)體體積、平均值。
難點(diǎn)在于計(jì)算，任何一道編好的考研題，都有能力把圖像畫出來(lái)(導(dǎo)數(shù)性態(tài))。
四、邏輯(證明)
1.中值定理:研究對(duì)象的復(fù)雜化；區(qū)間的復(fù)雜化。
2.不等式證明:核心是用求導(dǎo)(單調(diào))，輔助中值定理。
3.方程根(等式證明):證明零點(diǎn)存在性(至少問題)，用零點(diǎn)定理或羅爾定理(將原式復(fù)雜化一階導(dǎo)為0)；證明零點(diǎn)唯一性(至多問題)，用單調(diào)性或羅爾原話。
第四講 多元函數(shù)微分學(xué)
核心考點(diǎn)有三。
一、概念5個(gè)
1、極限的存在性:兩個(gè)定義
求二元函數(shù)極限，除洛必達(dá)法則、單調(diào)有界準(zhǔn)則、窮舉法，可照搬一元函數(shù)求極限的方法。
用的多的有三種方法:等價(jià)無(wú)窮小替換、無(wú)窮小·有界=無(wú)窮小、夾逼準(zhǔn)則。
2、連續(xù)性
3、偏導(dǎo)數(shù)存在性
4、可微
5、偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性
二、計(jì)算-微分法
三、應(yīng)用-極值與最值:無(wú)條件極值與點(diǎn)兒塔法；條件最值與拉格朗日乘數(shù)法。
對(duì)計(jì)算二元函數(shù)的極限和全微分有了更深刻的認(rèn)識(shí)和掌握，拉格朗日乘數(shù)法關(guān)鍵是計(jì)算。
第五講 二重積分
核心考點(diǎn)有三。
一、概念與對(duì)稱性。二重積分看作是一個(gè)個(gè)薯?xiàng)l組成的大面包；對(duì)稱性分普通對(duì)稱性與輪換對(duì)稱性，輪換對(duì)稱性只是"積分值與字母無(wú)關(guān)"的特例、巧合。
二、計(jì)算。
1、基礎(chǔ)題。直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系
2、技術(shù)題。換序、對(duì)稱性、形心公式的逆用。
三、綜合題。
第六講? 微分方程
核心考點(diǎn)有三。按類求解，對(duì)號(hào)入座。
一、一階方程:可分離變量型、齊次型、一階線性型、可降階
求解中出現(xiàn)對(duì)數(shù)，其真數(shù)要帶絕對(duì)值符號(hào)。
可降階微分方程通過(guò)換元變形成其他三種形式的微分方程，尤其是轉(zhuǎn)化成一階線性型再求解。方法:缺y,趕盡殺絕y；缺x,斬草除根x.
二、高階方程:二階常系數(shù)齊次線性方程、非齊次
對(duì)于高階方程除了會(huì)正向求解外，要掌握已知特解反求方程(逆向思維)，具體方法:將特解與二階常系數(shù)齊次線性方程的同解形式相對(duì)比，求出特征方程(注意二重根的情況不要寫錯(cuò))，根據(jù)特征方程寫出原方程。
三、應(yīng)用題。
背景公平；翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式。
另今天接觸到牛頓-萊布尼茨公式的逆用:將一個(gè)數(shù)寫成定積分的形式，這種逆向思想令人感到驚艷。
第七講 無(wú)窮級(jí)數(shù)
核心考點(diǎn)有三。
一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂。
1、概念(本質(zhì)):無(wú)窮級(jí)數(shù)斂散性判別的關(guān)鍵、本質(zhì)是研究通項(xiàng)在n趨于無(wú)窮大時(shí)趨于0的速度，對(duì)比無(wú)窮區(qū)間上反常積分?jǐn)可⑿耘袆e的關(guān)鍵是其高"無(wú)窮小的程度"；
一個(gè)級(jí)數(shù)收斂的定義是該級(jí)數(shù)的部分和在n趨于∞時(shí)的極限存在，這個(gè)極限就叫做該級(jí)數(shù)的和；
一個(gè)級(jí)數(shù)收斂的必要條件是其通項(xiàng)在n→∞時(shí)趨于0。
2、分類:(常)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)-正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)
函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)-冪級(jí)數(shù)
3、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂
①正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂:
a.收斂原則——正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列有上界，用于抽象級(jí)數(shù)判斂，寫其前n項(xiàng)和，證其有界 ，難的是放縮法(統(tǒng)一分母，利于計(jì)算)；
證數(shù)列有界，證數(shù)列的絕對(duì)值小于等于某一個(gè)正數(shù)。
b.正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法——對(duì)Un放縮或題目告知Vn。放縮必須熟記幾個(gè)經(jīng)典不等式；正項(xiàng)級(jí)數(shù)用比較判別法時(shí)用到連續(xù)放縮的遞推法。
c.比較判別法的極限形式和P級(jí)數(shù)是重點(diǎn)(此時(shí)與第一講極限中等價(jià)無(wú)窮小替換相結(jié)合，要一眼看出與要判級(jí)數(shù)等價(jià)無(wú)窮小的P級(jí)數(shù))；P級(jí)數(shù)和1到無(wú)窮大區(qū)間上的P積分對(duì)比，一個(gè)是離散累加，一個(gè)是連續(xù)累加。
注意比較對(duì)象有以下:幾何級(jí)數(shù)、P級(jí)數(shù)、廣義P級(jí)數(shù)(舉反例用)、交錯(cuò)P級(jí)數(shù)
d.比值判別法；
e.根值判別法。
②交錯(cuò)級(jí)數(shù)的判斂:萊布尼茨判別法；
③任意項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂:若通項(xiàng)加絕對(duì)值后級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若通項(xiàng)加絕對(duì)值后級(jí)數(shù)發(fā)散而原級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)條件收斂。對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，思路上一般都是先把一般項(xiàng)加上絕對(duì)值，變成正項(xiàng)級(jí)數(shù)后再去討論問題。
抽象級(jí)數(shù)斂散性證明可能成為壓軸題，跟上冊(cè)有關(guān)的計(jì)算(如求極限)相結(jié)合。
二、冪級(jí)數(shù)的收斂域。
三、展開與求和。
1、冪級(jí)數(shù)展開分為直接展開(照著6個(gè)公式套)和間接展開(先變形)。先積后導(dǎo)注意，若積分后首項(xiàng)為常數(shù)則改下標(biāo)；注意冪級(jí)數(shù)的形式；注意寫收斂域。
2、先積后導(dǎo)等于原來(lái)的函數(shù)，而先導(dǎo)后積不等于原來(lái)函數(shù)，一般取積分下限為展開點(diǎn)；注意收斂域，求得的和函數(shù)可能為分段函數(shù)。
求和函數(shù)先導(dǎo)后積中有嵌套的先導(dǎo)后積，注意換字母以區(qū)分各變量；具體求結(jié)果時(shí)便是硬基礎(chǔ)——定積分的計(jì)算(時(shí)刻注意對(duì)數(shù)的真數(shù)為正)；
冪級(jí)數(shù)的展開與求和各重做一道錯(cuò)題。發(fā)現(xiàn)還是出錯(cuò)。每次自己獨(dú)立動(dòng)腦做題都會(huì)發(fā)現(xiàn)意外驚喜——新錯(cuò)誤。只有自己動(dòng)筆做而非直接聽或看答案，才能真正理解題目的內(nèi)涵。做過(guò)很多遍的題，看起來(lái)簡(jiǎn)單，但還會(huì)出錯(cuò)說(shuō)明要腳踏實(shí)地，不能眼高手低。踏踏實(shí)實(shí)砌好每一塊磚。學(xué)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)就是學(xué)成千上萬(wàn)個(gè)知識(shí)。
高數(shù)下冊(cè)微分方程及無(wú)窮級(jí)數(shù)是上冊(cè)極限與微積分的具體運(yùn)用，計(jì)算過(guò)程處處跟上冊(cè)有密切聯(lián)系。一些題目只是套上級(jí)數(shù)的外衣。
