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在計(jì)算機(jī)上編程做信號(hào)處理時(shí)，我們通常用的是FFT, 但是開始學(xué)信號(hào)處理時(shí)，一般是從FS開始的。所以這里整理一下從FS到FFT“演變”的過程。以下是傅里葉“家族”的一些名稱:

FS(Fourier Series) 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)
FT(Fourier Transform) 連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉變換
DFS(Discrete Fourier Series) 離散傅里葉級(jí)數(shù)
DTFT(Discrete Time Fourier Transform) 離散時(shí)間傅里葉變換
DFT(Discrete Fourier Transform) 離散傅里葉變換
FFT(Fast Fourier Transform) 快速傅里葉變換

FS

首先，要從FS說起的。假設(shè)有一個(gè)正弦信號(hào)sin(w0t)，那么在頻域它是什么呢？就是在w0處有一條豎線！如果有一個(gè)信號(hào)是sin(w0t)+sin(w1t)，那么在頻域，它是兩條豎線(w0處和w1處)。如果是更為復(fù)雜的周期信號(hào)，那么相應(yīng)得，在頻域有好多條豎線!(好像說了一堆廢話)。不過，我們可以通過這些豎線，知道這個(gè)復(fù)雜的周期信號(hào)的成分，也可以通過抹掉一些頻率的方法改變周期信號(hào)的成分(濾波)?？傊?，F(xiàn)S給我們提供了一種方法，使我們可以用來分析連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的成分。需要提一下，在時(shí)間上連續(xù)的周期信號(hào)，在頻域是離散的！

FT

但是，在實(shí)際中，大部分信號(hào)是非周期的，于是就FT就到來了。如何將周期信號(hào)推廣到非周期信號(hào)呢？高人們是這么做的：先假設(shè)這個(gè)信號(hào)是周期的，周期為T，于是可以得到該周期信號(hào)的FS, 然后領(lǐng)T->無窮大，這時(shí)，相應(yīng)的FS就變成了FT。具體在頻域上的反映是，原本有間隔的豎條在T->無窮大時(shí)連在了一起，在頻域變成了連續(xù)的！所以在時(shí)間上的非周期信號(hào)，在頻域上是連續(xù)的!

如果我們對(duì)一個(gè)周期信號(hào)x(t)抽取它的一個(gè)周期xT(t)做FT，那么頻域是連續(xù)的，而該原始信號(hào)x(t)在頻域(FS)的那些豎條相當(dāng)于是對(duì)FT的采樣. x(t)的周期越小，豎條的間隔越寬，x(t)的周期越大，豎條的間隔越窄，如果x(t)的周期是無窮大，那么這時(shí)豎條的間隔就趨于0了，也就是頻域的波形連在了一起，F(xiàn)S變成了FT。

什么？為什么x(t)周期越小，豎條的間隔越寬？因?yàn)樨Q條的間隔其實(shí)就是周期信號(hào)的基頻，周期T越小，基頻越大，所以豎條的間隔就越寬。

DFS

好了，連續(xù)時(shí)間的說完了，但是對(duì)我們來說并沒有什么卵用，因?yàn)槲覀冇?jì)算機(jī)中的數(shù)據(jù)是離散的x[n]，根本不是x(t)。所以，接下來說的就是離散時(shí)間的傅里葉級(jí)數(shù)DFS。

正如連續(xù)周期信號(hào)x(t)可以用一系列正弦波疊加來表示(這里只考慮收斂的情況)，離散周期信號(hào)x[n]也可以用一系列“正弦序列”疊加來表示。那么在頻域，這一系列“正弦序列”就對(duì)應(yīng)了一堆豎線。每個(gè)豎線的高低就反應(yīng)了原始序列x[n]中該頻率成分的強(qiáng)弱。這就是DFS，時(shí)域的信號(hào)x[n]，在頻域是一堆豎線，如果我們想去掉一個(gè)頻率成分，在頻域把這條豎線抹掉就好了，然后反變換回去。這時(shí)的時(shí)域序列y[n]就沒有該頻率的成分了，過程如下:

時(shí)域x[n]-->計(jì)算DFS頻域系數(shù)-->頻域X[w]-->去掉某些頻率成分(讓對(duì)應(yīng)系數(shù)為0)-->頻域Y[w]-->從頻域系數(shù)回到時(shí)域-->時(shí)域y[n]

很好！但是，現(xiàn)實(shí)很殘酷，這是不可能的！

因?yàn)?，既然x[n]是周期的，那么在時(shí)域就是無限的，從古至今一直存在的，真的有這樣的信號(hào)嗎？我不知道。當(dāng)然，你可以造一個(gè)N點(diǎn)的信號(hào)x1[n]，并且想當(dāng)然認(rèn)為這個(gè)信號(hào)是周期的，(N為周期，也就是x[n]=x1[n+kN])，這時(shí)，你認(rèn)為你造的信號(hào)x1[n]就是周期信號(hào)x[n]的一個(gè)周期。因?yàn)镈FS計(jì)算過程只需要一個(gè)周期，所以你可以按上述處理過程從x1[n]得到y(tǒng)1[n]，也就是在你的想象中從x[n]的到了y[n]。當(dāng)然，這樣做在實(shí)際中是完全沒用的，因?yàn)閷?shí)際中我們處理的信號(hào)肯定是非周期的。于是，DTFT出場(chǎng)了。

DTFT

因?yàn)槲覀儗?shí)際中處理的信號(hào)是非周期的，就需要得到這種非周期的離散信號(hào)的頻域表示，然后進(jìn)一步處理。正如連續(xù)時(shí)間信號(hào)由周期變?yōu)榉侵芷诘奶幚硪粯?，我們可以先把非周期離散時(shí)間序列x[n]當(dāng)成是周期為N的信號(hào)x'[n]的一個(gè)周期，然后領(lǐng)N->無窮大。這樣，就得到了非周期離散信號(hào)的頻域表示，這就是DTFT。

DFT

但是，很不幸的是，正如連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)一樣，它在頻域上是連續(xù)的！我們?cè)谟?jì)算機(jī)上怎么表示這個(gè)連續(xù)的頻域？回想一下，我們的離散時(shí)間信號(hào)是哪里來的？好像也是從連續(xù)時(shí)間信號(hào)來的。怎么來的呢？采樣！對(duì)了，我們可以對(duì)頻域也進(jìn)行采樣！這樣，連續(xù)的頻譜被我們采樣成了離散頻點(diǎn)的頻譜。時(shí)域的采樣間隔相對(duì)于采樣周期，由奈奎斯特定律給出，那么頻域的采樣間隔該選多少呢？高人們說了，為了恢復(fù)N點(diǎn)的離散時(shí)間間隔，頻率的采樣點(diǎn)在一個(gè)周期內(nèi)(離散時(shí)間信號(hào)的頻域是周期的)也應(yīng)該是N!那么采樣間隔就是2π/N！這樣，我們就可以由N點(diǎn)的輸入序列x[n]得到它的頻域表示: N點(diǎn)的X[k], 其中k=0,1,...,N-1.分別對(duì)應(yīng)頻間隔為2π/N的N個(gè)頻率，這樣就可以在計(jì)算機(jī)中處理了。這就是DFT。