【原文：http://wenku.baidu.com/view/a8cb3548336c1eb91a375dc6.html】
我們的提綱如下：
1.為什么我們要分解一個(gè)函數(shù)
2.傅里葉級(jí)數(shù)就是三角級(jí)數(shù)
2.1傅里葉級(jí)數(shù)就是把周期函數(shù)展開(kāi)成基頻和倍頻分量
2.2每個(gè)分量的大小我們用投影的方法來(lái)求。
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你是大學(xué)生嗎？你學(xué)理工科嗎？你還不知道傅里葉級(jí)數(shù)嗎？你以為傅里葉和泰勒有什么親戚關(guān)系嗎？你一定聽(tīng)說(shuō)過(guò)傅里葉展開(kāi)和泰勒展開(kāi)吧？展開(kāi)的結(jié)果就是傅里葉級(jí)數(shù)和泰勒級(jí)數(shù)。他們是對(duì)一個(gè)函數(shù)的不同的【展開(kāi)】方法。
【相信我，傅里葉分解其實(shí)巨簡(jiǎn)單！】
#【但是最開(kāi)始的問(wèn)題一定是：我們?yōu)槭裁匆归_(kāi)一個(gè)函數(shù)？？？？！?。。?！
一個(gè)函數(shù)：
y=1
他的泰勒展開(kāi)是神馬？還是y=1。
那么y=x的展開(kāi)呢？
是y=x。
我們知道，泰勒展開(kāi)是把函數(shù)分解成1,?x,?x^2,?x^3,?…等等冪級(jí)數(shù)的【和】。
就是【把一個(gè)函數(shù)變成幾個(gè)函數(shù)的和】?。。?！這個(gè)展開(kāi)的式子就是泰勒級(jí)數(shù)?。。。?/p>
對(duì)函數(shù)的展開(kāi)和5?=?2+3一樣一樣一樣的?。。?！要多簡(jiǎn)單有多簡(jiǎn)單有木有?。。?！
但是你要注意啊：
【展開(kāi)的很多時(shí)候是有無(wú)限項(xiàng)不能窮盡的呀！】
你還記得sinx的泰勒展開(kāi)是什么嗎？sinx?=?0+?x?–?1/3!x^3?+?1/5!x^5?-…
（如果系數(shù)錯(cuò)了可千萬(wàn)不要吐槽啊啊啊，lz是學(xué)渣記系數(shù)記不住啊?。。。。?/p>
【那么現(xiàn)在提問(wèn)：】你知道為什么要展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的和嗎？請(qǐng)看這里：
因?yàn)槲覀儼褃展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)?y?=?1+x+x^2+x^3+x^4+…的時(shí)候我們可以無(wú)限細(xì)分得到函數(shù)在每個(gè)點(diǎn)的【【變化】】呀呀呀！
這和你把3234.352拆成3000+200+30+4+0.3+0.05+0.002一樣一樣一樣的?。。?！
所謂對(duì)函數(shù)的無(wú)限細(xì)分，就是不斷求導(dǎo)，得到123456789階變化率，從而得到這個(gè)函數(shù)到底在各個(gè)點(diǎn)【精細(xì)】【變化】的有多劇烈??！還記得神馬叫變化嗎？位移的變化是速度，速度的變化是加速度，加速度的變化是加加速度的。一句話，【變化就是導(dǎo)數(shù)啊】?。?！
【泰勒級(jí)數(shù)的每一階的系數(shù)（主值）就是各階導(dǎo)數(shù)?。?！】
所以泰勒級(jí)數(shù)就是在描述一個(gè)函數(shù)的各個(gè)點(diǎn)的變化啊啊啊?。?！
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喂?。?！不要再跑題啦啦！！我們是要說(shuō)傅里葉級(jí)數(shù)的好不好?。。。?/p>
你不認(rèn)識(shí)傅里葉？沒(méi)有任何關(guān)系，但是你見(jiàn)過(guò)三角形嗎？知道三角函數(shù)嗎？
傅里葉級(jí)數(shù)又叫三角級(jí)數(shù)啊。一句話就是【把一個(gè)函數(shù)y拆成三角函數(shù)的和】啊?。?！
神馬，你還記得神馬是三角函數(shù)嗎？sinx,cosx等等。
那馬展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)單！
y?=?sinx?+?sinx^2?+?sinx^3…是這樣嗎？？？？
【樓主，這樣真的沒(méi)有問(wèn)題嗎？？？】
【原諒樓主吧，上面的式子是錯(cuò)的?。。。。。 ?/p>
當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)?。∠旅娌攀歉道锶~級(jí)數(shù)：：：
y=?1?+?sinx?+cosx?+sin2x?+?cos2x?+?…..
【這才是傅里葉級(jí)數(shù)?。?！】
喂喂喂，這都是神馬呀？【憑神馬能拆成三角函數(shù)的和呀呀?。?！】【為什么要是sinx、sin2x…呀呀呀?。。 ?/p>
親，你知道的！只有【周期】函數(shù)才有傅里葉級(jí)數(shù)嗷嗷??！也就是說(shuō)只有周期函數(shù)可以拆成三角函數(shù)的和呀呀??！
【神莫】你要問(wèn)非周期函數(shù)腫么辦？那你就要去了解【傅里葉變換】了。我變我變我變變變。任何一個(gè)比較正常（沒(méi)有間斷點(diǎn)的函數(shù)），基本上都可以進(jìn)行傅里葉變換呀呀呀?。。ā鸰←這句話的嚴(yán)謹(jǐn)性我才不保證【嚴(yán)謹(jǐn)】性）
好好好。我們就來(lái)解釋一下傅里葉級(jí)數(shù)的形式：
我們來(lái)說(shuō)一下【為什么要把周期函數(shù)拆成三角函數(shù)的和】這也是和【為什么要把一個(gè)函數(shù)拆成冪級(jí)數(shù)的和】一樣本質(zhì)的問(wèn)題。
好，周期函數(shù)總有周期吧。
比如說(shuō)，你在學(xué)唱歌，喊了一秒，歇一秒，再喊一秒，歇一秒。。。。你就一直從歷史喊到了未來(lái)，永不停歇。這樣你的發(fā)聲便是一個(gè)周期為2秒的方波。（假設(shè)你的氣息平穩(wěn)，喊的聲音大小是不變的，噢這真是難為你了。）
就像這樣：（只看上半部分！?。?/p>
畫(huà)圖的這玩意兒叫MATLAB。好NB的趕腳。
你以為你的聲音就僅僅是周期為2秒的方波這么簡(jiǎn)單嗎？大錯(cuò)特錯(cuò)！
告訴你！你的聲音是很多個(gè)不同頻率的正弦波組成的！?。。m然你也可以認(rèn)為方波而不是正弦波是組成世界的基礎(chǔ)【哈哈這樣的想法是對(duì)的！持有那樣想法的人搞出來(lái)了沃爾什變換！就是用一系列周期為1/2^n的函數(shù)來(lái)模擬原來(lái)的函數(shù)。】）
那你知道你想知道為什么分解成三角函數(shù)的和（正弦波）那么重要嗎？？
那是因?yàn)?，我們知道，?duì)于一個(gè)周期函數(shù)來(lái)說(shuō)，和周期對(duì)應(yīng)的叫頻率。頻率表示了周期性變化的快慢（比如說(shuō)振動(dòng)的快慢）。我們知道彈簧是有振動(dòng)頻率的、電磁波是有振蕩頻率的，光也是有頻率的。
那么【頻率就是這些物質(zhì)的本質(zhì)屬性?！?/p>
（表忘了樓主成經(jīng)是KB的墊紙男。。。）在電子學(xué)里，我們知道電容是隔直通交的。但是怎么一個(gè)“隔直通交”法呢？其實(shí)這就是電容對(duì)不同頻率的電學(xué)量（比如電壓和電流）的頻率特性不同的體現(xiàn)。對(duì)于頻率為0的電壓，不論有多少電壓，它的電流都為0，對(duì)于頻率為為w（跟我一起念：【歐米茄】）的電壓，會(huì)產(chǎn)生與w和電壓U成正比的電流。所以說(shuō)我們要把一個(gè)函數(shù)分成不同頻率的分量。
【喂喂喂先等等，分解成不同頻率沒(méi)問(wèn)題，那憑什么是正弦/余弦的頻率呀?。。 ?/p>
【廢話】因?yàn)檎?余弦函數(shù)是【二階偏微分方程】（就是含有電容等元件的電路方程）的【本！征！解！】。
【多說(shuō)一下。。】這個(gè)世界上只有兩種東（函）西（數(shù)）能夠滿足給自己求二階導(dǎo)還是這種函數(shù)自己本身（僅相差常數(shù)系數(shù)和正負(fù)號(hào)），一種就是e^x，另一種就是sinx、cosx。（后人又在復(fù)數(shù)域里統(tǒng)一了他們成為e^z?=?e^x?*?e^yi)）別問(wèn)我為什么。。。要問(wèn)就問(wèn)【e是什么】和【什么是歐幾里得空間/為什么勾股定理成立】
所以呢，對(duì)于一個(gè)一般的物理量（電學(xué)量）來(lái)說(shuō)，它可能不是正弦函數(shù)/余弦函數(shù)。但他們都是可以拆成不同頻率的三角函數(shù)的組合的?！咀顬樽顬橹匾氖恰?，對(duì)于某種單頻的三角函數(shù)，電路系統(tǒng)（或者多數(shù)其他物理系統(tǒng)），對(duì)【某種頻率】的三角函數(shù)的輸入的【【【響應(yīng)】】】還是【同頻率】的三角函數(shù)，只可能是相（前）位（后）或者幅（大）度（?。┌l(fā)生變化?！掘}年！你終于知道神馬叫上面說(shuō)的【二階偏微分方程的【本！征！解！】了吧！！只有e^x和coswx,?sinwx響應(yīng)才會(huì)是形式不變的呀呀??！】
好好好，又廢了不少話。不過(guò)我們已經(jīng)大工告成一半了。
【我們知道我們要把函數(shù)展開(kāi)成三角不同頻率的三角函數(shù)的和】?【而且系統(tǒng)對(duì)某種頻率的【三】【角】【函】【數(shù)】的響應(yīng)方式還是【同頻率的三角函數(shù)】，所以響應(yīng)也是對(duì)這些不同【三】【角】頻率【響應(yīng)的疊加】（這叫什么，這就叫頻域分析，這就叫信號(hào)與系統(tǒng)?。。疚覀冇终f(shuō)多了摔。?！?/p>
我們回來(lái)看看下面這個(gè)真實(shí)的例子，這也是一個(gè)方波（只不過(guò)它是從正到負(fù)的，相當(dāng)于我們之前的方波下移了1/2A【A是幅度】），下面好好欣賞一下彩圖吧！我們可以看出來(lái)，它是由sinx,sin3x,sin5x,sin7x組成的。我們?nèi)绻岩粋€(gè)方波放到一個(gè)電路里的話，它出來(lái)的絕不是方波，但卻是對(duì)sinx,sin3x,sin5x,sin7x…分別的反饋的疊加（分別是系統(tǒng)對(duì)sinx,sin3x,sin5x,sin7x的反饋的疊加…）。
再回來(lái)看看我們的傅里葉級(jí)數(shù)的公式吧：
好復(fù)雜啊有木有?。?！
【尼瑪這樣的數(shù)學(xué)就是唬人的！！！】
公式里的l是周期的一半（或者說(shuō)周期是2l）。
用這個(gè)式子我們就可以表示周期是2l的【各種樣子】的周期函數(shù)。就像我們上面的方波那樣。而1/2l就是它的【基頻】。之所以所有的頻率都是【基頻的倍數(shù)】那是因?yàn)樗稀荆ㄖ芷谛裕┻吔鐥l件??！】
好吧可是為什么又有cosx又有sinx？？！好難看的公式有木有??！
其實(shí)分明就應(yīng)該是
f(x)?=?a0?+?A1sin(w1x?+?phi1)?+A2sin(2w1x?+phi2)?+?…
【不】【要】【把】【相】【位】【拆】【開(kāi)】呀好不好，還弄個(gè)an、bn搞得一團(tuán)糟啊??！
但是你把相位拆開(kāi)了就是上面的式子啊啊?。?！
但你要知道，這個(gè)【相位是多少】【我們是不知道的】，為了求相位我們需要把每一個(gè)頻率（k）的coskx的幅度和sinkx的幅度都搞清楚再求出來(lái)啊啊，所以ak和bk這兩個(gè)系數(shù)合起來(lái)才能搞清楚Ak和phik?。?！
【一句話，傅里葉級(jí)數(shù)就是】
把周期函數(shù)拆開(kāi)成?常數(shù)（直流分量）+一倍頻分量+2倍頻分量+…這么簡(jiǎn)單的一件事啊?。。?/p>
#【可是拆開(kāi)的每個(gè)分量的大小我還不知道啊?。?！】
你要告訴我系數(shù)a0?a1?a2?a3?b1?b2?b3都怎么算啊啊?。?！
怎么算，拿【投影】算啊?。?！你沒(méi)學(xué)過(guò)函數(shù)的投影你還沒(méi)學(xué)過(guò)向量的投影嗎啊啊??！
向量的投影是直接用a·b啊啊。函數(shù)的投影是神馬？是下面這個(gè)東東啊?。?！
【一個(gè)函數(shù)u和一個(gè)函數(shù)v的內(nèi)積】就是他們倆相乘，然后在全區(qū)間上積分啊！
可不可以說(shuō)人話！??！【神馬！讓我說(shuō)人話？？?。∫盐腋惘偟羰遣皇牵。 ?/p>
在周期函數(shù)里區(qū)間端點(diǎn)a和b就是任何一個(gè)長(zhǎng)度為2pi的區(qū)間端點(diǎn)啊啊，我們一般取的是好算的0和2pi，你要取-pi和pi是一樣一樣的，因?yàn)樗麄兌际侵芷谥貜?fù)的啊啊。
為神馬要積分搞不懂啊啊，積分就是就是【累加】啊啊，你把兩個(gè)函數(shù)在每一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)x上面都相乘了然后取個(gè)積分就是對(duì)兩個(gè)函數(shù)所有的a到b上的函數(shù)值做乘積再累加啊啊??！
那么我們把【u取f(x)】，把【v分別取1，sinx,?sin2x,?sin3x,?…,?cosx,?cos2x,?cos3x,…】?這就是【做投影】就能[得到每一個(gè)頻率的各自部分的分量大小】?。?！
為什么像【這樣做內(nèi)積】就可以呢？？
當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)，這里出來(lái)了一個(gè)重要的概念，大名鼎鼎的【完備正交基】啊??！【尼瑪勞資被線性代數(shù)虐過(guò)一千遍對(duì)這個(gè)詞匯那是刻骨銘心?。?！】
【完備】是說(shuō)你用1，sinx,?cosx,?sin2x,?cos2s,?sin3x,?cos3x,?…【完全】能夠【把一個(gè)函數(shù)f(x)表示】出來(lái)?。ň拖裼?,?x,?x^2,?x^3?…可以表示f(x)是一樣的）。
那【蒸（正）餃（交）】又是神馬呢？【正交】就是說(shuō)他們兩兩都【不】【相】【關(guān)】?。?！
你看下面的式子（積分號(hào)這么寫(xiě)你還一定看得懂啊?。。。?/p>
S(0,2pi)?[1?*?sinx?dx]?=?0。
S(0,2pi)?[sinmx?*?cos?nx]?=?0。
S(0,2pi)?[sinmx?*?sin?nx]?=?0
兩兩相乘在區(qū)間內(nèi)累加都等于零啊??！
不要問(wèn)我為什么剛剛好都等于零，這個(gè)問(wèn)題我只能回答【世】【界】【真】【奇】【妙】啊?。?！
【喂喂喂，兩兩不相關(guān)還沒(méi)完，正交基還要求每一個(gè)的長(zhǎng)度為1你都忘了喂?。?！】
S(0,2pi)?[1?*?1?dx]?=?2pi【打叉叉】不是正交基
S(0,2pi)?[sinkx?*?sinkx?dx]?=?pi【打叉叉】不是正交基
【都。。。。。不等于一。。。。就把它變成一?。。?！】
S(0,2pi)?[1/sqrt(2pi)?*?1/sqrt(2pi)?dx]?=?1
S(0,2pi)?[1/sqrt(pi)sinkx?*?1/sqrt(pi)sinkx?dx]?=?1
所以你懂不懂啊，傅里葉分解真正的基底是下面這些啊?。?！
1/sqrt(2pi)、1/sqrt(pi)sinx、1/sqrt(pi)cosx、1/sqrt(pi)sin2x、1/sqrt(pi)cos2x…
我告訴你你之所以把f(x)和上面的任何一個(gè)相乘再在去建立取積分就得到了某一個(gè)的系數(shù)是因?yàn)槟阍诜e分的時(shí)候其實(shí)把其他的基底的分量都積掉了了呀呀??！【就像你面前放了一個(gè)番茄一個(gè)黃瓜你拿一個(gè)紅色的眼鏡一看！黃瓜木有啦啦啦！?。』蛘呷绻阋袋S瓜你就換一個(gè)綠色的眼鏡?。。∵@樣說(shuō)還不明白嗎?。?！】
那你知道了【周期為2l】的正交基就是：
1/sqrt(2l)、1/sqrt(l)sinx、1/sqrt(l)cosx、1/sqrt(l)sin2x、1/sqrt(l)cos2x…?。?！
你要算系數(shù)還是用f(x)和每一個(gè)相乘再求積分就出來(lái)了?。?！傅里葉分解就是這么簡(jiǎn)單啊啊??！
把f(x)拆成不同頻率三角函數(shù)的和：
用內(nèi)積的方法分解出每一個(gè)分量的系數(shù)：
下面更直接地寫(xiě)出了怎么用內(nèi)積的方法計(jì)算系數(shù)【騷年，有木有看到啊，非單位化的基底有多么難看啊?。 ?/p>
?
我該說(shuō)的都說(shuō)完了，你到底懂沒(méi)懂?。。。](méi)懂的自行在下面默默留言。。）
