1. 說明

?ARMA回歸滑動平均模型(Autoregressive Moving Average Model,簡記ARIMA)，是研究時間序列的重要方法，由自回歸模型（簡稱AR模型）與滑動平均模型（簡稱MA模型）為基礎“混合”構(gòu)成。常用于具有季節(jié)變動特征的銷售量、市場規(guī)模的預測等。ARIMA模型相對ARMA模型，僅多了差分操作。

2. 相關(guān)概念

(1) 自回歸模型（AR）

?自回歸模型autoregressive model，簡稱AR．在時序分析中，描述時間序列｛yt｝自身某一時刻和前p個時刻之間相互關(guān)系的模型稱自回歸模型，其形式為：

?其中Φ1, Φ2,…, Φp是模型參數(shù)，εt是白噪聲序列，它反映了所有其它隨機因素的干擾．其中p為模型階次，即yt由前p個值決定．

(2) 滑動平均模型（MA）

?滑動平均模型moving average model，也稱移動平均模型，它將時間序列{yt}看成白噪聲序列的線性組合，為什么誤差能描述模型呢？假設某個值可通過之間前N個值的平均值預測，稍作變化，即實際值可以通過前一值的預測值加誤差得到．因此實際值可用多個誤差值的累加來表示．其形式為：

(3) 回歸滑動平均模型（ARMA）

?簡單地說：AR模型是建立當前值和歷史值之間的聯(lián)系，MA模型是計算AR部分累積的誤差。ARMA是兩個維度的和．

(4) 數(shù)據(jù)預處理

?ARMA要求被分析的數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布，平穩(wěn)，零均值．平穩(wěn)性一般是指：均值為常數(shù)，方差為常數(shù)，且自協(xié)方差為常數(shù)．比如說上升的趨勢中，均值就不是常數(shù)；如果震蕩幅度越來越大，則方差不是常數(shù)。
?如果僅是均值非０的情況，可減去均值；如果趨勢可用線性擬合，可以減去擬合后的趨勢；另外還可以用差分，或者季節(jié)性差分的方法使之平穩(wěn)；對于非正態(tài)分布，可使用對數(shù)處理．

(5) 差分

?差分是將數(shù)據(jù)進行移動之后與原數(shù)據(jù)進行比較得出的差異數(shù)據(jù)，這里的移動是指上移或者下移．簡單的說，比如對某支股票的價格數(shù)據(jù)做一階差分，就是將每日價格減去前一天的價格．
?在python中，差分運算可使用pandas的diff(periods=n)函數(shù)實現(xiàn)，其中n為階數(shù)，默認為一階差分，一階差分的具體操作是df.shift()-df．用于生成平穩(wěn)數(shù)據(jù)，比如下面的曲線．

?一階差分后

?由此可見，差分之后，去掉了趨勢，均值趨于０．有助于分析其它特征．

(6) 自相關(guān)與偏自相關(guān)（ACF&PACF）

?自相關(guān)acf和偏自相關(guān)pacf是分析時序數(shù)據(jù)的重要方法，是在平穩(wěn)條件下求得的．
?自相關(guān)函數(shù)Auto Correlation Function，簡稱ACF．形如：

?Ｘ軸表示滯后值，Ｙ軸從[-1,1]，表示了這些值的相關(guān)性．比如左邊第一點相關(guān)性為1，就是說該點與它自己完全相關(guān)．從圖中可觀察到：12個月為周期的相關(guān)性相當明顯的．調(diào)用方法如下：

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
plot_acf(df['xxx'])

?注意時序數(shù)據(jù)中不能包括空值，如果之前用了一次一階差分和一次十二階差分，應去掉前13個為空的值．
?圖中藍色部分是描述的統(tǒng)計顯著性，如果數(shù)據(jù)隨機分布，Y軸的位置會在藍色區(qū)域之內(nèi)．因此，要著重看藍色區(qū)域以外的點．
?自相關(guān)系數(shù)包含了其它變量影響下的相關(guān)關(guān)系，有時需要只考慮某兩個變量的相關(guān)關(guān)系，即偏相關(guān)系數(shù)．其中的偏字，指的是只考慮首尾兩項的關(guān)系，把中間項當成常數(shù)，使用了偏導數(shù)的方法．使用方法如下：

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf
plot_pacf(df['xxx'])

(7) 拖尾和截尾

?我們通過觀察自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖來確使用哪種模型，以自相關(guān)圖為例，先看看圖片呈現(xiàn)的幾種形式．

?左邊的圖呈直線形式衰減，說明可能包括趨勢，需要進一步差分；中間是截尾圖，它指的是在某個值（如圖中的7）后截止為0；右則是拖尾圖，指的是按指數(shù)形式或正弦形式有規(guī)律地衰減．
?如果自相關(guān)系數(shù)拖尾，偏自相關(guān)系數(shù)p階截尾，則使用p階的AR模型．
?如果自相關(guān)系數(shù)q階截尾，偏自相關(guān)函數(shù)拖尾，則使用q階的MA模型．
?簡單的講，它們兩個都是看截尾截在哪兒．
?如果自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)均拖尾，則使用ARMA模型，由于AR和MA相互影響，階數(shù)需要從小到大逐步嘗試．

(8) 模型檢驗

i. 模型對訓練數(shù)據(jù)的擬合
?用模型對訓練數(shù)據(jù)做擬合，用觀察或者計算誤差的方式，查看二者差異，差異越小越好．

ii. 檢查殘差的自相關(guān)函數(shù)
?殘差的自相關(guān)函數(shù)應該沒有可識別的結(jié)構(gòu)．

iii. AIC信息準則
?AIC信息準則Akaike information criterion，是衡量統(tǒng)計模型擬合優(yōu)良性的一種標準，AIC值越小越好，也有根據(jù)AIC自動選參數(shù)的工具．

3. 步驟

?具體使用python調(diào)用statsmodels庫實現(xiàn)．statsmodels是一套統(tǒng)計工具集．具體需要考慮三個參數(shù)：d，p，q．其中d是消除趨勢的差分階數(shù)，p是AR階層，q是MA的階數(shù)．步驟如下：

(1) 做時序圖觀察基本的趨勢和周期．

(2) 分析平穩(wěn)性，正態(tài)性，周期性；并對數(shù)據(jù)進行轉(zhuǎn)換．

(3) 做自相關(guān)和偏自相關(guān)圖，確定模型階次．

(4) 模型檢驗

(5) 用模型預測．

4. 問題與解答

(1) 做ARMA分析前是否應該剔除周期性因素？
?我們可以從自相關(guān)圖中看出周期性波動，比如上邊右側(cè)的拖尾圖，它說明某天與前7,14,21天都強相關(guān)．如果發(fā)現(xiàn)強相關(guān)，可先進行多階差分（季節(jié)差分）后，再進一步使用ARMA模型處理．需要注意的是各層次差分在預測時都需要對應的還原．

(2) 做長期預測時如何應對衰減？
?我在做鹽城上牌預測時就遇到了嚴重的衰減問題，當時需要預測之后幾百天的數(shù)據(jù)，而ARMA在預測了幾十天之后，就從類似正弦波型衰減成了一條直線，導致我最終放棄了該模型，改為使用線性擬合趨勢，嚴重損失了精度．后來看復賽排名第一的大神分享，他也使用ARMA，并且也有衰減問題，不同的是他采用按月預測，相比于按日預測，衰減就好得多，非常贊！

5. 參考

(1) 第七篇時間序列分析
https://max.book118.com/html/2014/1223/10828140.shtm