求證兩個空間拓撲等價，是一個幾何問題，將涉及怎樣造出兩個空間之間具體的同胚。

求證兩個空間不同胚，則是性質(zhì)完全不同的另一個問題。
不可能將兩個空間之間的每個映射拿來檢驗，斷定它們不是同胚。

這時采取的辦法是倚重于空間的“拓撲不變量”：
不變量可以是空間的某種幾何性質(zhì)，也可以是數(shù)，不如像對空間有定義的Euler數(shù)，
也可以是代數(shù)系統(tǒng)，比如從空間造出來的群或者環(huán)。

重要之點在于這些不變量為同胚所保持——名稱正是由此得來。
如果我們懷疑兩個空間不同胚，可以計算它們的不變量，一旦發(fā)現(xiàn)算出的答案不一樣，我們的設(shè)想就得到證實。

Poincare引進一種構(gòu)造，他的想法是對于每個拓撲空間對應(yīng)以一個群，使得同胚的空間具有同構(gòu)的群。

而且證明了道路連通的同胚空間具有同構(gòu)的基本群。