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I. Logistic Regression(LR)

1. 從線性回歸說起

線性回歸(Linear Regression)是一個(gè)回歸模型，用線性關(guān)系來擬合輸出 $y$ 和輸入 $x$ 之間的關(guān)系：
$f(\boldsymbol x) = w_1x_1 + w_2x_2 + ... + w_nx_n + b \tag1$
或者可以簡寫
$f(\boldsymbol x) = \boldsymbol {w^Tx} +b \tag2$
$\boldsymbol {x} \in \mathbb{R^n}, \boldsymbol {w} \in \mathbb{R^n}, b \in \mathbb{R}.$ 但線性回歸只能解決連續(xù)值的回歸問題。如果延伸到分類問題，自然的想法是找一個(gè)連續(xù)可微函數(shù) $g(\cdot)$ 將式(2)的輸出值 $f(\boldsymbol x)$ 映射到一個(gè)概率范圍[0,1]內(nèi)。如果選擇sigmoid函數(shù)，就成為了我們要討論的logistic regression模型。sigmoid函數(shù)如式（3）所示
$y = \frac{1}{1+e^{-z}} \tag3$

2. Logistic Regression

Logistic Regression是一個(gè)二分類模型，定義為如下的條件概率函數(shù)
$P(Y=1|x) = \frac {e^{\boldsymbol {w^Tx}+b}}{1+e^{\boldsymbol {w^Tx}+b}} \tag4$
$P(Y=0|x) = \frac {1} {1+e^{\boldsymbol {w^Tx}+b}} \tag5$
$\boldsymbol {x} \in \mathbb{R^n}, \boldsymbol {w} \in \mathbb{R^n}, b \in \mathbb{R}.$ 模型會(huì)比較式(4) (5)的大小，并將較大的概率值對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽作為預(yù)測(cè)結(jié)果。

這里要引入一個(gè)幾率(odds)的概念。一個(gè)事件的幾率是指該事件發(fā)生與不發(fā)生的概率之比，即 $\frac p {1-p}$ .對(duì)幾率取對(duì)數(shù)則是對(duì)數(shù)幾率(log odds，又稱logits).根據(jù)式(4)和(5)，Logistic Regression的logits為
$log(\frac p {1-p}) = \boldsymbol {w^Tx}+b \tag6$
這里就可以看出，LR模型實(shí)質(zhì)上是用線性函數(shù)來擬合事件的對(duì)數(shù)幾率，因此LR又被稱為對(duì)數(shù)幾率模型。由于LR是一個(gè)概率模型，因此可以使用極大似然法來求解參數(shù) $\boldsymbol w$ 和 $b$ ，網(wǎng)上有很多推導(dǎo)，這里不做展開。

II. Softmax函數(shù)

1. 定義

LR是一個(gè)二分類模型。想做多分類的話，就輪到softmax登場(chǎng)了。softmax函數(shù)定義如下：
$Y_i = \frac {e^{\boldsymbol {w_i^Tx_i}}}{\sum_{k=1}^K e^\boldsymbol {{w_k^Tx_k}}}\tag7$
$\boldsymbol {x_i} \in \mathbb{R^n}, \boldsymbol {w_i} \in \mathbb{R^n}, i \in \{1, 2, ..., K\} , Y_i \in (0, 1).$ Softmax函數(shù)的取值為(0, 1)，經(jīng)常用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最后一層的激活函數(shù)。這 $K$ 個(gè)輸出可以看做是對(duì)K個(gè)類別的預(yù)測(cè)概率，softmax輸出值最大的那個(gè)就作為預(yù)測(cè)的標(biāo)簽。

2. Softmax與LR的關(guān)系

事實(shí)上，LR是softmax的類別數(shù) $K=2$ 時(shí)的特殊形式，推導(dǎo)如下：
當(dāng) $K=2$ 時(shí)，softmax可以寫作
$Y_i = \frac {e^{\boldsymbol {w_i^Tx_i}}}{e^{\boldsymbol {w_1^Tx_1}}+e^{\boldsymbol {w_2^Tx_2}}}, i=1,2 \tag8$
將分子分母的系數(shù) $w$ 都減去 $w_i^T$ ，可得
$Y_1 = \frac {e^{\boldsymbol {0x_i}}}{e^{\boldsymbol {0x_1}}+e^{\boldsymbol {(w_2^T-w_1^T)x_2}}} = \frac {1}{1+e^{\boldsymbol {(w_2^T-w_1^T)x_2}}}\tag9$
$Y_2 = 1-Y_1 = \frac {e^{\boldsymbol {(w_2^T-w_1^T)x_2}}}{1+e^{\boldsymbol {(w_2^T-w_1^T)x_2}}}\tag{10}$
令 $\boldsymbol {w_2^T-w_1^T}=\boldsymbol {w^T}$ ，則 $Y_1$ 和 $Y_2$ 就是logistic regression中的 $P(Y=0|x)$ 和 $P(Y=1|x)$ .

3. Softmax的導(dǎo)數(shù)

Softmax經(jīng)常作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出，其導(dǎo)數(shù)為：

$\frac{\partial Y_i}{\partial \boldsymbol{x_j}}=\left\{\begin{aligned}-Y_iY_j, & i \neq j \\Y_i(1-Y_j), & i = j\end{aligned}\right.\tag{11}$

III. Cross Entropy

Cross entropy (交叉熵)原本是信息論中的概念，描述的是兩個(gè)概率分布間的距離，定義如下
$H(p, q) = -\sum_xp(x){\rm log}q(x) \tag{12}$
在分類任務(wù)中，我們經(jīng)?？吹紺ross Entropy作為LR和softmax函數(shù)的損失函數(shù)。這里 $p(x)$ 為真實(shí)值， $q(x)$ 為預(yù)測(cè)值，交叉熵可以刻畫預(yù)測(cè)值和真實(shí)值之間的差異，這也是其可以作為概率模型loss函數(shù)的原因。而前文所介紹的LR和softmax輸出的結(jié)果正是這樣的概率形式。

當(dāng)Cross entropy作為LR的損失函數(shù)時(shí)，式(12)中的 $x$ 即為sigmoid的輸出Y，因此
$H(p, q) = Y \cdot {\rm log}P(Y=1) + (1-Y) \cdot {\rm log}P(Y=0) \tag{13}$
對(duì)于所有m個(gè)樣本取平均可得
$\frac{1}{m} \sum_{n=1}^{m} H_n(p, q) = Y_n \cdot {\rm log}P(Y_n=1) + (1-Y_n) \cdot {\rm log}P(Y_n=0) \tag{14}$
可以證明，cross entropy與使用極大似然法計(jì)算出的loss一致。

當(dāng)Cross entropy作為softmax的損失函數(shù)時(shí)，式(12)變?yōu)?br> $H(p, q) = -\sum_{i=1}^{K}O_i{\rm log}Y_i = {\rm log}Y_t = {\rm log} \frac {e^{\boldsymbol {w_t^Tx_t}}}{\sum_{k=1}^K e^\boldsymbol {{w_k^Tx_k}}} \tag{15}$
其中 $t$ 為真實(shí)label， $t \in \{1,2,...,K\}.$ 這里使用gradient descent來優(yōu)化loss函數(shù)，式(15)對(duì)特定輸入 $x_j$ 的導(dǎo)數(shù)為
$\frac {\partial H(p, q)} {\partial x_j } = -\frac {\partial \sum_{i=1}^{K}O_i{\rm log}Y_i }{\partial x_j} = - \sum_{i=1}^{K}O_i \frac {\partial {\rm log}Y_i }{Y_i}\frac{\partial Y_i }{\partial x_j} = - \sum_{i=1}^{K}O_i\frac{1}{Y_i} \frac{\partial Y_i }{\partial x_j} \tag{16}$
將前面式(11)softmax的導(dǎo)數(shù)代入得
$\frac{\partial H(p, q)} {\partial x_j }=-(\frac{O_j}{Y_j}\cdot\frac{\partial Y_j}{\partial x_j} + \sum_{i\neq j}\frac{O_i}{Y_i}\cdot\frac{\partial Y_i} {\partial x_j} ) =O_j(Y_j-1)+Y_j\sum_{i\neq j} O_i = \left\{\begin{aligned}Y_j-1, & O_j=1 \\Y_j, & O_j=0\end{aligned}\right. = Y_j-O_j \tag{17}$
可以看出，softmax函數(shù)的cross entropy loss求導(dǎo)結(jié)果正好是預(yù)測(cè)值 $Y_j$ 和真實(shí)label $O_j$ 之差。