證明：E[s2] = E[Σ(xi - x?)2 / (n-1)] = σ2

其中 E[...] 表示期望值。

證明過程：

從樣本方差的定義開始：

s2 = Σ(xi - x?)2 / (n-1)

我們考察分子部分 Σ(xi - x?)2。我們做一個巧妙的變形，加上再減去總體均值 μ：

Σ(xi - x?)2 = Σ[(xi - μ) - (x? - μ)]2

展開平方項：

= Σ[(xi - μ)2 - 2(xi - μ)(x? - μ) + (x? - μ)2]

將求和符號分配進去：

= Σ(xi - μ)2 - 2(x? - μ)Σ(xi - μ) + Σ(x? - μ)2

（注意 (x? - μ) 對求和來說是常數）

簡化中間項：因為 Σ(xi - μ) = Σxi - nμ = n(x? - μ)

所以：- 2(x? - μ) * n(x? - μ) = -2n(x? - μ)2

簡化最后一項：Σ(x? - μ)2 = n(x? - μ)2

現在我們有：

Σ(xi - x?)2 = Σ(xi - μ)2 - 2n(x? - μ)2 + n(x? - μ)2 = Σ(xi - μ)2 - n(x? - μ)2

現在對等式兩邊取期望值 E[...]：

E[Σ(xi - x?)2] = E[Σ(xi - μ)2] - nE[(x? - μ)2]

我們知道：

E[(xi - μ)2] = σ2，所以 E[Σ(xi - μ)2] = nσ2

E[(x? - μ)2] 是樣本均值的方差，其公式為 Var(x?) = σ2 / n

代入：

E[Σ(xi - x?)2] = nσ2 - n * (σ2 / n) = nσ2 - σ2 = (n-1)σ2

得出關鍵結論：

E[Σ(xi - x?)2] = (n-1)σ2

因此，對于我們的樣本方差 s2：

E[s2] = E[Σ(xi - x?)2 / (n-1)] = E[Σ(xi - x?)2] / (n-1) = (n-1)σ2 / (n-1) = σ2

證畢！ 我們證明了 E[s2] = σ2，也就是說，用 n-1 做分母的樣本方差是總體方差的無偏估計。