指數(shù)平滑法的思考

指數(shù)平滑法本質究竟是什么？
是一種數(shù)據轉換方式？還是一種擬合預測算法？

從原理來講，指數(shù)平滑法給每個歷史數(shù)據賦權

指數(shù)平滑法核心原理是認為過去的狀態(tài)在某種程度上會持續(xù)到未來。因此指數(shù)平滑法就是對歷史數(shù)據的權重分配，使得新數(shù)據有較大權重，舊數(shù)據給與較小權重，預測值根據歷史數(shù)據和權重獲得。

從應用上講，指數(shù)平滑法可用于修勻序列，也可用于預測。

指數(shù)平滑法中平滑系數(shù)的選擇研究一文中指出[1]：
指數(shù)平滑法的作用主要體現(xiàn)在兩個方面：一是用于預測，二是用于修勻歷史數(shù)據，以測定時間序列的長期趨勢。

一、作用

（1）修勻歷史數(shù)據

有些場景只是想要獲得整體趨勢，忽略不規(guī)則和隨機擾動的影響。例如經濟總體趨勢、消費發(fā)展趨勢等。
通過對非正常波動的統(tǒng)計數(shù)據進行修勻，能使序列反映其基本的發(fā)展趨勢，從而得出正確的判斷，這有助于我們準確把握經濟形勢[2]。

下圖為不同平滑系數(shù)的情況下，趨勢數(shù)列和原數(shù)列的關系。參數(shù)\alpha
值越小，序列趨勢越明顯，隨著\alpha值的增大，修勻數(shù)據的能力有降低的趨勢。

從修勻數(shù)據的角度而言，目標是獲得整體平穩(wěn)趨勢，參數(shù)\alpha應該取小一些。

（2）預測

從預測角度，預測值和觀察值越接近，預測效果越好。

二、相關公式

指數(shù)平滑法就是對歷史數(shù)據的權重分配，使得新數(shù)據有較大權重，舊數(shù)據給與較小權重，根據平滑次數(shù)的不同，分為一指數(shù)平滑、二指數(shù)平滑、三指數(shù)平滑等。

設時間序列為x_1,x_2,...,x_n，t為第t個時刻。

（1）一指數(shù)平滑法[4]

平滑公式：S_t^{(1)} = \alpha x_t+(1-\alpha)S_{t-1}^{(1)}
預測公式：x’_{t+1} = S_t^{(1)}= \alpha x_t + (1-\alpha) x'_{t}

平滑公式：

初始值S_1^{(1)}根據序列的長度，可以直接取S_1^{(1)}=x_1，也可以取前幾個X的均值。
S_1^{(1)}=x_1
S_2^{(1)} = \alpha x_2+(1-\alpha)S_1^{(1)}
S_3^{(1)} = \alpha x_3+(1-\alpha)S_2^{(1)} = \alpha x_3+ \alpha(1-\alpha) x_2 + (1-\alpha) ^2 S_1^{(1)}
S_4^{(1)} = \alpha x_4+(1-\alpha)S_3^{(1)} = \alpha x_4+ \alpha(1-\alpha) x_3+ \alpha (1-\alpha) ^2 x_2 + (1-\alpha) ^3 S_1^{(1)}
···
S_n^{(1)} = \alpha x_n+ \alpha(1-\alpha) x_{n-1}+...+ \alpha (1-\alpha) ^{n-2} x_2 + (1-\alpha) ^{n-1} S_1^{(1)}
拆解平滑公式后發(fā)現(xiàn)，指數(shù)平滑值S_t為前t個歷史值x_1,...,x_t的權重組合。(1-\alpha)為小數(shù)，指數(shù)次冪越大，值越小，從而使得新數(shù)據有較大權重，舊數(shù)據給與較小權重。

（2）二指數(shù)平滑法

二次指數(shù)平滑是在一次指數(shù)平滑的基礎上再做一次平滑。
原始數(shù)據[x_1,x_2,...,x_n]進行一次平滑操作后為[S_1^{(1)},S_2^{(1)},...,S_n^{(1)}]；
[S_1^{(1)},S_2^{(1)},...,S_n^{(1)}]再進行一次平滑操作為[S_1^{(2)},S_2^{(2)},...,S_n^{(2)}]

平滑公式：S_t^{(2)} = \alpha S_t^{(1)}+(1-\alpha)S_{t-1}^{(2)}
參考以上推理展開后應該為：
S_1^{(2)} = S_t^{(1)}
S_2^{(2)} = \alpha S_2^{(1)} + (1-\alpha) S_1^{(2)}
S_3^{(2)} = \alpha S_3^{(1)} + (1-\alpha) S_2^{(2)} = \alpha S_3^{(1)} + \alpha (1-\alpha) S_2^{(1)} + (1-\alpha)^2 S_1^{(2)}
···
S_n^{(2)} = \alpha S_n^{(1)} + \alpha (1-\alpha) S_{t-1}^{(1)} +...+ \alpha (1-\alpha) ^{n-2}S_{t-1}^{(1)} + (1-\alpha)^{n-1} S_1^{(2)}
二次指數(shù)平滑在一次指數(shù)平滑的基礎上再做一次平滑。

（3）三指數(shù)平滑法

原始數(shù)據[x_1,x_2,...,x_n]進行一次平滑操作后為[S_1^{(1)},S_2^{(1)},...,S_n^{(1)}]；
[S_1^{(1)},S_2^{(1)},...,S_n^{(1)}]再進行一次平滑操作為[S_1^{(2)},S_2^{(2)},...,S_n^{(2)}]；
[S_1^{(2)},S_2^{(2)},...,S_n^{(2)}]再進行一次平滑操作為[S_1^{(3)},S_2^{(3)},...,S_n^{(3)}]

三、和擬合算法的比較

令f(x)=a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n，求的最優(yōu)的[a_1,a_2,...,a_n]組合，此時的f(x)就是擬合的曲線。這條曲線要盡可能的還原實際數(shù)據的游走模式。

而在指數(shù)平滑中，每個x_1的權重根據新數(shù)據有較大權重，舊數(shù)據給與較小權重快速分配，獲得的曲線是實際數(shù)據修勻后的結果。

四、最優(yōu)參數(shù)alpha

五、小結

  • 指數(shù)平滑法“修勻"歷史數(shù)據，獲得基本數(shù)據模式，從而預測走向。
  • 指數(shù)平滑法并不單純是一種數(shù)據轉換方式
  • 指數(shù)平滑法不是擬合算法，擬合算法是讓曲線盡可能的與歷史數(shù)據相近、指數(shù)平滑是忽略隨機擾動，獲得歷史數(shù)據的基礎走勢。
  • 擬合算法的預測是在獲得最優(yōu)擬合函數(shù)的基礎上預測下一刻數(shù)值，而指數(shù)平滑法是在“修勻"數(shù)據的基礎上預測下一步。

參考資料

[1] 指數(shù)平滑法中平滑系數(shù)的選擇研究_王長江：https://wenku.baidu.com/view/1eca108590c69ec3d5bb75fd.html
[2] 非正常波動統(tǒng)計數(shù)據修勻方法研究以福建省消費數(shù)據為例：https://www.doc88.com/p-899246394173.html
[3] 指數(shù)平滑法在小浪底大壩變形預測中的應用：https://www.jinchutou.com/p-31051887.html
[4] 公式參考：https://wenku.baidu.com/view/8389e62a4b73f242336c5ff2.html

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