?一、等額本息每期還款總金額計(jì)算公式
假設(shè)貸款總金額為A，月利率為β，貸款期數(shù)為k，
每期需還款總金額（本金+利息）為x，
則：
??? 第一期還款后，欠款總金額 Q1 = A * (1 + β) - x
????第二期還款后，欠款總金額 Q2 = Q1 * (1 + β) - x = [A * (1 + β) - x] * (1 + β) - x
???????????????????????????????????????????????????? ?= A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x
????第三期還款后，欠款總金額 Q3 = Q2 * (1 + β) - x
?????????????????????????????????????????????????????? = {A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x} * (1 + β) - x
?????????????????????????????????????????????????????? = A * (1 + β) ^ 3 - [(1 + β) ^ 2 + (1 + β) + 1] * x
由此可得出??? 第k期還款后，
??? 欠款總金額 Qk = Qk-1 * (1 + β) - x = ...
??????????????????????????? ?= A * (1 + β) ^ k - [(1 + β) ^ (k-1) + (1 + β) ^ (k-2) + ... + 1] * x。
?? 我們發(fā)現(xiàn)[ ]內(nèi)是等比數(shù)列，等比數(shù)列求和公式是不是又忘記了？
?? 我們一起來推導(dǎo)下。設(shè)y=1 + β，
????則Sk = 1 + y + y ^2 + ... + y ^ (k-1)，y * Sk = y + y ^2 + ... + y ^ (k-1) + y ^ k，
???兩公式相差得 y * Sk - Sk = y ^ k - 1，從而得出Sk = (y ^ k - 1) / (y -1)。
???由此繼續(xù) Qk = A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x，
???第k期還款后貸款結(jié)束，因此Qk = 0，即 A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x = 0，
??得出等額本息每期還款本息總額 x = A * β * (1 + β) ^ k / [(1 + β) ^ k - 1]，這便是每期需要還款的總金額。
二、等額本息每期還款本金計(jì)算公式
等額本息每期還款總金額x公式已經(jīng)有了，那么每期還款的本金是多少呢？
假設(shè)第n期還款本金為Pn，
則：
??????? 第一期需還本金 P1 = x - A * β
??????? 第二期需還本金 P2 = x - (A - P1) * β
???????????????????????????????????????= x - {A - [x - A * β]} * β
????????????????????????????????????? ?= x - A * β + (x - A * β) * β
?????????????????????????????????????? = P1 + P1 * β = P1 * (1 + β)
??????? 第三期需還本金 P3 = x - (A - P1 - P2) * β
?????????????????????????????????????? ?= x - {A - P1 - P1 * (1 + β)} * β
?????????????????????????????????????? ?= x - A * β + P1 * β + P1 * (1 + β) * β
????????????????????????????????????????= P1 * (1 + β) ^ 2
?則可以猜測第n期需還本金 Pn = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)
?下面我們來論證這個(gè)公式，假設(shè)公式成立，
?則 P(n + 1) = x - [A - P1 - P2 - ... -Pn] * β
??????????????????? = x - {A - P1 * [1 + (1 + β) + ... + (1 + β) ^ (n - 1)]} * β
??????????????????? = x - {A - P1 * [(1 + β) ^ n - 1] / β} * β
?????????????????? ?= x - A * β + P1 * [(1 + β) ^ n - 1] = p1 * (1 + β) ^ n
由此可以得出，等額本息還款中每期還款本金 Pn = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)
三、首期利息與末期本金
1、首期利息 等額本息中，首期還款可能存在不足月的情況，這時(shí)候本金可以嚴(yán)格按照上述公式得出，
???? 但利息肯定不能按滿月算了（每期還款利息是按期數(shù)-月為單位的），???? 這時(shí)候首期利息得需要按實(shí)際使用天數(shù)進(jìn)行特殊計(jì)算。
???? 假設(shè)第一期還款時(shí)實(shí)際使用天數(shù)為 t，則首期利息 L1 = A * β * t / 30
???? 如何計(jì)算首期實(shí)際使用天數(shù)？
???? 首期實(shí)際使用天數(shù)計(jì)算實(shí)性的是“對月對日”，首先找到首期還款日t1對應(yīng)上一期的還款日t0（若當(dāng)月t0不存在，則往下延一天，即下月的首日），再比較起息日y和t0的天數(shù)差，綜合，首期實(shí)際使用天數(shù) t = 30 - (y - t0)。
范例：
???? 1) 起息日2018-02-15，首期還款日2018-03-10，則t0為2018-02-10，
??????????得出首期實(shí)際使用天數(shù) t = 30- (2018-02-15 - 2018-02-10) = 25
??????2) 起息日2018-03-02，首期還款日2018-03-31，則t0為2018-03-01
??????? ?（對應(yīng)2018-02-31不存在，則順延一天）
???????????得出首期實(shí)際使用天數(shù) t = 30- (2018-03-02 - 2018-03-01) = 29
2、末期本金
???????????? 由于每期還款本金是公式計(jì)算后取四舍五入的值，存在精度丟失問題，
??????????????因此末期還款本金金額為 Pk = A - P1 - P2 - ... - P(k-1)
四、總結(jié)
????? 假設(shè)貸款總金額為A，月利率為β，貸款期數(shù)為k，
????? 每期需還款總金額（本金+利息）為x，
??????第n期需還款本金為Pn，第n期需還利息為Ln，
則：
????? 第1至k-1期每期還款本金 Pn (1 <= n < k) = P1 * (1 + β) ^ (n - 1) ????
????? 第k期還款本金 Pk = A - P1 - P2 - ... - P(k-1)
????? 第1期還款利息 L1 = A * β * t / 30 第2期到k期還款利息 Ln = x - Pn
????? 第1期還款本息總額 w1 = P1 + L1 ?? 第2期至k期還款本息總額 wn = x
五、等額本息Excel公式
?利用函數(shù)PPMT(rate,per,nper,pv,fv,type)計(jì)算本金，IPMT函數(shù)計(jì)算利息
?本金＝PPMT(各期利率,第幾期,總期數(shù),本金）
?利息＝IPMT(各期利率,第幾期,總期數(shù),本金）
??Excel中的PMT函數(shù)，通過單、雙變量的模擬運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)貸款的利息計(jì)算。
??PMT函數(shù)可基于利率及等額分期付款方式，
??根據(jù)貸款利率、定期付款和貸款金額，來求出每期(一般為每月)應(yīng)償還的貸款金額。
??PMT函數(shù)的格式和應(yīng)用方式： PMT(Rate，Nper，Pv，F(xiàn)v，Type)
? 其中各參數(shù)的含義如下：
? Rate：各期利率，
???????????? 例如，如果按8.4%的年利率借入一筆貸款來購買住房，并按月償還貸款，
???????????? 則月利率為8.4%/12(即0.7%)。
?????????????用戶可以在公式中輸入8.4%/12、0.7%或0.007作為Rate的值。
?Nper：貸款期數(shù)，即該項(xiàng)貸款的付款期總數(shù)。
???????????? 例如，對于一筆10年期按月償還的住房貸款，共有10×12(即120)個(gè)償款期數(shù)。
?????????????????????????可以在公式中輸入120作為Nper的值。
?Pv：現(xiàn)值，或一系列未來付款的當(dāng)前值的累積和，也就是貸款金額。
?Fv：指未來終值，或在最后一次付款后希望得到的現(xiàn)金余額。
?????????如果省略Fv，則假設(shè)其值為零，
?????????也就是一筆貸款的未來值為零，一般銀行貸款此值為0。
