【義】1.3 由自然數(shù)1， 2， …， n組成的不重復(fù)的有確定次序的排列， 稱為一個n級全排列（ 簡稱為n級排列）
【義】1.4 在一個n級排列（ j1 j2 …jt …js …jn ） 中， 若數(shù)jt ＞js ， 則稱數(shù)jt 與js 構(gòu)成一個逆序． 一個n級排列中逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)， 記為τ（ j1 j2 …jn ）
【義】1.5 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列， 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列．
【理】1.1 任意一個排列經(jīng)過一次對換后， 改變其奇偶性

n階行列式展開式.png

行列式的性質(zhì)

【性】1 行列式與它的轉(zhuǎn)置列式相等， 即D＝DT
【性】2 互換行列式的兩行（列）， 行列式改變符號．

證明

【推】1.3 如果行列式有兩行（ 列） 相對應(yīng)的元素相等， 則此行列式等于零．
　　　=> 交換相等的這兩行，則行列式改變符號，D=-D，又因為D=D，所以D=0
【性】3 行列式的某一行（ 列） 中所有元素都乘以同一數(shù)k， 等于用數(shù)k乘以此行列式
【推】1.4 行列式中某一行（ 列） 的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．
【推】1.5 行列式中如果有兩行（ 列） 元素對應(yīng)成比例， 則此行列式等于零．
　　　=> 提出這一行的k，則成比例的兩行相等，所以行列式等于0
【性】5 把行列式的某一行（列） 的元素乘以同一數(shù)k， 然后加到另一行（ 列） 對應(yīng)的元素上去， 行列式的值不變

行列式按行（列）展開

【義】1.9 在n階行列式D中， 去掉元素aij 所在的第i行和第j列后， 余下的元素按原來的次序構(gòu)成的n－1階行列式， 稱為D中元素aij 的余子式， 記為Mij ， 再記

代數(shù)余子式

稱Aij 為元素aij 的代數(shù)余子式
【引】設(shè)n階行列式D中的第i行元素除aij 外全部為零， 則這行列式等于aij 與它的代數(shù)余子式的乘積
【理】1.3 行列式D等于它的任一行（ 列） 的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和

行列式的應(yīng)用

【理】1.4 如果線性方程組（ 1.8） 的系數(shù)行列式D≠0， 則方程組（ 1.8） 有唯一解

克拉默法則

其中， Dj （ j＝1， 2， …， n） 是把系數(shù)行列式D中第j列元素a1j ， a2j ， …， anj 對應(yīng)地換為方程組右端常數(shù)項b1 ， b2 ， …， bn 后得到的n階行列式
【理】1.5 如果齊次線性方程組（ 1.9） 的系數(shù)行列式D≠0， 則齊次線性方程組（ 1.9） 只有唯一的零解．
【推】1.7 如果齊次線性方程組（ 1.9） 有非零解， 則齊次線性方程組（ 1.9） 的系數(shù)行列式必為零

矩陣的秩

【義】2.16 設(shè)A是m×n矩陣， 則從A中選定k行k列（1≤k≤min（m， n）） ， 位于這些行和列交叉處的k2 個元素按原來的相對位置組成一個k階行列式， 稱為矩陣A的k階子式
【義】2.17 設(shè)A矩陣的最高階非零子式的階數(shù)稱為矩陣A的秩， 記為r（A）

1. 約定零矩陣的秩為0
2. A是m×n矩陣， 則r（A） ≤m， r（A） ≤n
3. 若r（A）= r的充分必要條件是矩陣A至少有一個r階子式不等于0， 而所有r＋1階子式（如果存在） 全為0
4. 當(dāng)r（A）＝ n時， 則∣A∣≠0

【理】2.4 初等變換不改變矩陣的秩
下面給出矩陣秩的一些性質(zhì)：

1. r（ AT ） ＝r（ A）
2. 若A?B， 則r（A）＝r（ B）
3. 若A可逆， 則r（AB）＝r（BA） ＝r（B）
4. r（A＋B） ≤r（A） ＋r（B）
5. A是m×n矩陣， B是n×s矩陣， 則r（A）＋r（B）－n ≤ r（AB） ≤min（r（A）， r（B））