高等代數(shù)理論基礎(chǔ)14：n級行列式

n級行列式

n級行列式

定義：n級行列式\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}的代數(shù)和,這里j_1j_2\cdots j_n是1,2,\cdots,n的一個排列,每一項都按以下規(guī)則帶有符合：當j_1j_2\cdots j_n是偶排列時,帶正號,當j_1j_2\cdots j_n是奇排列時,帶負號

即\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum\limits_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}

注：

1.n級行列式由n!項組成

2.行列式的元素全是數(shù)域P中的數(shù)時,它的值也是數(shù)域P中的一個數(shù)

上三角形行列式

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}

項的一般形式為a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}

行列式中第n行的元素除去a_{nn}外全是零,只要考慮j_n=n的那些項,在n-1行中,除去a_{n-1,n-1},a_{n-1,n}外全是零,j_n只有n-1,n兩種可能,由于j_n=n,所以j_{n-1}就不能等于n了,從而j_{n-1}=n-1逐步推上去,可知展開式中除a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}外其余項全是0,而這一項的列指標所成排列為偶排列,所以這一項帶正號

所以\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}

注：

1.上三角形行列式就等于主對角線(從左上角到右下角的對角線)上元素的乘積

2.主對角線以外的元素全為零的行列式稱為對角形行列式

行指標列指標對稱性

一般地,行列式中的項可以寫成a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}\cdots a_{i_nj_n},其中i_1i_2\cdots i_n,j_1j_2\cdots j_n是兩個n級排列,項的符號為(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)+\tau(j_1j_2\cdots j_n)}

證明：

重排a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}\cdots a_{i_nj_n}

使得行指標成自然順序

即a_{1j'_1}a_{2j'_2}\cdots a_{nj'_n}

則項的符號為(-1)^{\tau(j'_1j'_2\cdots j'_n)}

下證(-1)^{\tau(j'_1j'_2\cdots j'_n)}=(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)+\tau(j_1j_2\cdots j_n)}

由a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}\cdots a_{i_nj_n}變到a_{1j'_1}a_{2j'_2}\cdots a_{nj'_n}

可以經(jīng)過一系列元素的對換實現(xiàn)

每作一次對換,

元素的行指標與列指標所成排列同時作一次對換

即\tau(i_1i_2\cdots i_n)和\tau(j_1j_2\cdots j_n)同時改變奇偶性

\therefore \tau(i_1i_2\cdots i_n)+\tau(j_1j_2\cdots j_n)奇偶性不變

即對a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}\cdots a_{i_nj_n}作一次元素的對換

不改變(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)+\tau(j_1j_2\cdots j_n)}的值

\therefore 在一系列對換后有

(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)+\tau(j_1j_2\cdots j_n)}=(-1)^{\tau(12\cdots n)+\tau(j'_1j'_2\cdots j'_n)}

=(-1)^{\tau(j'_1j'_2\cdots j'_n)}\qquad\mathcal{Q.E.D}

(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)+\tau(j_1j_2\cdots j_n)}來決定行列式中每一項的符號,表面行指標與列指標的地位是對稱的,因而把每一項按列指標排起來,定義可寫成

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum\limits_{i_1i_2\cdots i_n}(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)}a_{i_11}a_{i_22}\cdots a_{i_nn}

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