人工智能通識(shí)-科普-微積分定理

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微積分定理簡(jiǎn)單說(shuō)就是，微分和積分互為逆運(yùn)算。
人工智能通識(shí)-2019年3月專題匯總

曲線下的面積

為什么會(huì)有微積分這種折磨人的東西？這個(gè)要從求函數(shù)曲線下面的面積說(shuō)起。

對(duì)于曲線函數(shù)f(x)，怎么求這條曲線下面[a,b]區(qū)間內(nèi)的黃色面積？

如果這個(gè)面積是矩形、梯形或者三角形，圓形之類都有公式可以用。但有沒(méi)有想過(guò)是否可以發(fā)明一種通用的方法，能夠求任何曲線函數(shù)下面某區(qū)間面積？

積分定義

數(shù)學(xué)家黎曼想出了一個(gè)辦法，看下圖。

這就把原本求連續(xù)曲線下面積轉(zhuǎn)換為求n個(gè)豎著的小長(zhǎng)方形面積之和。當(dāng)n趨近于無(wú)窮大的時(shí)候，這些小長(zhǎng)方形面積之和就等于曲線下的區(qū)間面積。

如上圖所示，假設(shè)z為區(qū)間[x_i,x_{i-1}]上任意一點(diǎn)，每個(gè)長(zhǎng)方形的面積都可以表示為f(z)(x_i-x_{i-1})。

所以積分的定義就是：

{\lim_{n \to +\infty}}\sum_{i=1}^{n}f(z)(x_i-x_{i-1})

即n趨近于無(wú)窮大的時(shí)候無(wú)數(shù)個(gè)長(zhǎng)方形組成的曲線下的面積。

正式的寫(xiě)作：

\int_{a}^f(x)dx

這個(gè)大波浪號(hào)可以讀作積分，或者英文Integrate。

提示，這里的z雖然圖上標(biāo)識(shí)為[x_i,x_{i-1}]的中點(diǎn)，實(shí)際上可以是其中任意一點(diǎn)，即使是x_i也沒(méi)問(wèn)題，因?yàn)樵跇O限的情況下，這個(gè)長(zhǎng)方形會(huì)無(wú)限的窄，[x_i,x_{i-1}]也會(huì)無(wú)限小，所以取哪個(gè)都不要緊。

積分和微分

如果我們把黃色區(qū)域視為一個(gè)因變量area,那么我們能否找到一個(gè)函數(shù)來(lái)表現(xiàn)area隨著x增大而發(fā)生的變化呢？

如上圖所示，我們假設(shè)F(x)就是找到的面積函數(shù)，它表示了黃色面積隨著x增大而發(fā)生的變化：

  • x從1到2，面積增加3；
  • x從2到3，面積增加5；
  • x從3到4，面積增加3；
    ...

有了F(x)我們就可以用F(x_i)-F(x_{i-1})求出左側(cè)圖中黃色任意區(qū)間的面積。

微積分定理

微積分定理說(shuō)，上圖中，F(x)曲線的切線函數(shù)就是左側(cè)的f(x)。

為什么呢？

回到開(kāi)始的那張圖：

這是用來(lái)說(shuō)明微分的，微分就是求導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)就是曲線的斜率slope，圖里面斜率就是∠bac的正切值，就是：

slope=\frac{dy}{dx}

再對(duì)應(yīng)到這個(gè)圖，dy就是面積的變化。

所以我們有：

slop=\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)dx}{dx}=f(x)

我們觀察右圖F(x)的斜率變化，對(duì)照左側(cè)f(x)的曲線變化，也可以看到兩者是一致相符合的。

你看到了嗎？右側(cè)斜率逐漸變大再逐漸變小，左側(cè)y值也是逐漸變大然后逐漸變小。

微積分定理的數(shù)學(xué)證明

微積分互為逆運(yùn)算，F(x)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)就是f(x)。

對(duì)于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷，如果
F(x)=\int_a^xf(u)du

這里使用u只是避免和x混淆。

那么假設(shè)有一點(diǎn)a,用[a,x+h]和[a,x]兩個(gè)區(qū)間面積的差可以求到[x，x+h]區(qū)間的面積，也可以從F(x)做減法求得，所以有：

F(x+h)-F(x)=\int_a^{x+h}f(u)du-\int_a^xf(u)du

另外，在[x,x+h]區(qū)間上一定可以找到某點(diǎn)t可以滿足：
F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h}f(u)du=h*f(t)

這是積分中值定理的直接解釋和應(yīng)用。

然后我們?cè)俳Y(jié)合微分斜率的定義，如下圖，h如果越來(lái)越小，最終x+h將趨近于h。

根據(jù)上圖有：
F'(x)={\lim_{h \to 0}}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}

因?yàn)樯厦嬉呀?jīng)有:
F(x+h)-F(x)=h*f(t)

所以有：
F'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{h*f(t)}{h}=\lim_{h\to 0}f(t)=\lim_{t\to x}f(t)=f(x)

既然h無(wú)限趨近于0，那就相當(dāng)于是t無(wú)限趨近于x，即x。

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