電磁學(xué)亂七八糟的符號(hào)(五)

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author:何偉寶

本來已經(jīng)是不打算更得了,沒想到到了最后還有一個(gè)重要的知識(shí)面沒涵蓋到,那就寫一下吧

[TOC]

一般傳輸線方程

這一次需要被建模的類型是平行雙導(dǎo)線,數(shù)學(xué)建模后是長這個(gè)樣子的:

傳輸線電路模型

由于直接從麥克斯韋方程式不好起手,所以這里注重求電壓電流的解和關(guān)系

分布參量

長短線

為了便于分析,定義 $\frac {l}{\lambda}$ 為傳輸線的電長度,并且定義長短線:
$低頻電路\longleftrightarrow \frac {l}{\lambda}<1 \longleftrightarrow 短線$
$高頻電路\longleftrightarrow \frac {l}{\lambda}>1 \longleftrightarrow 長線$

分布參量

如上圖的一些電阻電容電感電導(dǎo),由下表給出:

自己做的圖系列

但是題目一般會(huì)給出,所以就不多說了,重點(diǎn)是單位!如果題目給出總的,一點(diǎn)要記得除以長度

穩(wěn)態(tài)解

忙于復(fù)習(xí),就直接上結(jié)論了

電報(bào)方程/電報(bào)方程

$\frac {dU(z)}{dz}=Z_0I(z)$
$\frac {dU(z)}{dz}=Y_0I(z)$

串聯(lián)阻抗和并聯(lián)導(dǎo)納

由上式定義了:
$Z_0=R_0+j\omega L_0 \quad ,\quad Y_0=G_0+j\omega C_0$

波動(dòng)方程

同樣地做分離U,I兩個(gè)變量得:
$\frac {d^2U(z)}{dz^2}-\gamma^2U(z)=0$
$\frac {d^2I(z)}{dz^2}-\gamma^2I(z)=0$
所以可以很容易得求得通解:
$U(z)=Ae^{\gamma z}+Be^{-\gamma z}$
回代到電壓的一階微分式有:
$I(z)=\frac1{Z_0}\frac{dU(z)}{dz}=\frac1{Z_c}(Ae^{\gamma z}+Be^{-\gamma z})$

特征阻抗 $Z_c$

可以看出,特征阻抗是描述傳輸線上電壓電流轉(zhuǎn)換關(guān)系的,而且有:
$Z_c=\sqrt{\frac{Z_0}{Y_0}}=\sqrt{\frac{R_0+j\omega L_0}{G_0+j\omega C_0}}$
所以這里的特征阻抗和前面說的波阻抗有點(diǎn)像.

傳播常數(shù) $\gamma$ &&衰減常數(shù)&&相位常數(shù)

又是熟悉的字母,又是熟悉的定義:
$\gamma=\sqrt{Z_0Y_0}=\sqrt{(R_0+j\omega L_0)(G_0+j\omega C_0)}=\alpha + j \beta$
$\gamma$ 稱為傳輸線上電壓波和電流波的傳播常數(shù) , $\alpha$ 為衰減常數(shù) , $\beta$ 為相位常數(shù)

任意點(diǎn)電壓電流

對一般傳輸線:
$U(z)=\frac{U_0+I_0 Z_c}2 e^{\gamma z}+\frac{U_0-I_0 Z_c}2 e^{-\gamma z}$
$U(z)=\frac1{Z_c}(\frac{U_0+I_0 Z_c}2 e^{\gamma z}-\frac{U_0-I_0 Z_c}2 e^{-\gamma z})$
對無損耗傳輸線,有 $\gamma=j\beta$ ,(劃重點(diǎn))
$U(z)=U_0cos\beta z+jI_0Z_c sin\beta z$
$U(z)=I_0cos\beta z+j\frac{U_0}{Z_c} sin\beta z$

傳輸特性

由于某些原因,這里可能偏向無損耗傳輸線,也就是 $R_0=0 \quad,\quad G_0=0$

特性阻抗

在無損耗傳輸線中:
$Z_c=\sqrt{\frac{L_0}{C_0}}$

傳播常數(shù)

在無損耗傳輸線中:
$\gamma=j\beta \quad,\quad \alpha=0 \quad,\quad \beta=\omega\sqrt{L_0 C_0}$

相速與波長

參考前面的定義,可以定義傳輸波的相速為:
$v_p=\frac{\omega}{\beta}=\frac1{\sqrt{L_0 C_0}}$
同理定義波長:
$\lambda=\frac{2\pi}{\beta}$

工作狀態(tài)

輸入阻抗

從圖形上看,無損耗傳輸線,輸入阻抗是這樣的:

輸入阻抗的計(jì)算

注意這里的起點(diǎn)不一定是z=0,可以是任意點(diǎn)往負(fù)載方向看的阻抗,所以由前面的公式可以知道:

特別地(習(xí)題結(jié)論),
考慮傳播線開路,即 $Z_L\rightarrow\infty$ 時(shí):
對公式中的分式 $Z_L$ 作洛必達(dá)法則,可得到開路輸入阻抗 $Z_{ino}$ :
$Z_{ino}=-jZ_c cot\beta z \tag{1.1}$
同理考慮傳播線開路,即 $Z_L\rightarrow 0$ 時(shí):
代入原公式得短路輸入阻抗 $Z_{ins}$ :
$Z_{ins}=jZ_c tan\beta z \tag{1.2}$

(1.1)*(1.2)得:
$Z_c=\sqrt{Z_{ino}Z_{ins}}$
(1.1)/(1.2)得:
$\beta=\frac1z arctan\sqrt{\frac{Z_{ins}} {Z_{ino}}}$

反射系數(shù)

描述的就好像是,以某一點(diǎn)的一個(gè)電壓波為基準(zhǔn),
然后那個(gè)電壓波通過傳輸先跑到了對面,對原來的電壓波的影響:
自然地,電壓波跑過的路程是2z,所以有:
$\Gamma(z)=\Gamma_0 e^{-2j\beta z}\quad \quad \Gamma_0=|\Gamma_0| e^{j\varphi_0}$
其中 $\Gamma_0$ 稱為傳輸線的終端電壓反射系數(shù) $\varphi$ 是輔角,對無損耗傳輸線來說, $|\Gamma(z)|=|\Gamma_0|$

駐波系數(shù)&&行波系數(shù)

駐波系數(shù):
$\rho=\frac{|U(z)|_{max}}{|U(z)|_{min}}$
行波系數(shù):
$K=\frac1\rho=\frac{|U(z)|_{min}}{|U(z)|_{max}}$

參量間關(guān)系

因?yàn)檫@里是重點(diǎn),所以這里給出常用公式,推導(dǎo)就自行看書了..
$Z_{in}(z)=Z_c\frac{1+\Gamma(z)}{1-\Gamma(z)}\quad \quad\Gamma(z)=\frac{Z_{in}(z)-Z_c}{Z_{in}(z)+Z_c}$

$Z_{L}=Z_c\frac{1+\Gamma_0}{1-\Gamma_0}\quad \quad \quad\Gamma_0=\frac{Z_L-Z_c}{Z_L+Z_c}$

$\rho=\frac{1+|\Gamma_0|}{1-|\Gamma_0|}\quad \quad\quad \quad \quad |\Gamma(z)|=|\Gamma_0|=\frac{\rho-1}{\rho+1}$

行波狀態(tài)

在反射系數(shù) $\Gamma(z)=0$ 時(shí),顯然沒有反射波,即 $U^-(z)=0$
所以有以下結(jié)論:

沿線電壓和電流振幅不變:
$U(z)=U^+(z)=\frac{U_0+I_0 Z_c}2 e^{\gamma z}=U^+_0e^{\gamma z}$
$I(z)=I^+(z)=\frac{U_0+I_0 Z_c}{2Z_c} e^{\gamma z}=\frac{U^+_0}{Z_c}e^{\gamma z}$
沿線電壓和電流相位相同:
$u(z,t)=|U^+_0|cos(\omega t+\beta z +\varphi_0)$
$i(z,t)=\frac{|U^+_0|}{Z_c}cos(\omega t+\beta z +\varphi_0)$
沿線各點(diǎn)輸入阻抗等于其特性阻抗:
$Z_{in}(z)=Z_c$

駐波狀態(tài)

在反射系數(shù) $|\Gamma(z)|=1$ 時(shí),顯然反射波和入射波相疊(所以有個(gè)系數(shù)2)加成純駐波,不對外吸收或傳輸能量

顯然只有在負(fù)載短路,開路,純電抗(不損耗能量)時(shí)有 $|\Gamma(z)|=1$

這里就直接上結(jié)論了(以 $Z_L=0$ )為例:
$U(z)=j2U^+_0sin\beta z$
$I(z)=2I^+_0cos\beta z$
可以看出這里電壓和電流差了一個(gè) $\frac \pi 2$ 的相位 ,由于總路程是2z,所以引起的相移是 $\frac{\lambda}4$
?
?
此時(shí)傳輸線上任意一點(diǎn)的輸入阻抗為:
$Z_in(z)=jZ_ctan\beta z$

$\frac \lambda 4$ 阻抗變換性

特別地,考慮:
$\Gamma(z)=\Gamma_0 e^{-2j\beta z}\quad \quad$
可以清晰地看出,每當(dāng)z改變 $\frac \lambda 4$ 時(shí),反射系數(shù)就會(huì)取反,稱為阻抗變換性

混合波狀態(tài)

相當(dāng)于上面兩個(gè)的結(jié)合,主要特征保留這樣子:
$U(z)=U^+_0 e^{j\beta z}(1-\Gamma_0)+2\Gamma_0 U^+_0 cos\beta z$
$I(z)=I^+_0 e^{j\beta z}(1-\Gamma_0)+j2\Gamma_0 U^+_0 cos\beta z$

阻抗匹配

共軛阻抗匹配

向負(fù)載方向看去的輸入阻抗與向微波信源方向看去的輸入阻抗的共軛值相等:
$Z_{in}=Z^*_g$

源阻抗匹配

微波信源的內(nèi)阻抗等于傳輸線的特性阻抗:
$Z_g=Z_c$

負(fù)載阻抗匹配

負(fù)載阻抗等于傳輸線的特性阻抗:
$Z_L=Z_c$

結(jié)語

這次是真的再見了!

想我盡早更新的方法之一

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