一.行列式
1.和矩陣的差別體現(xiàn)在它的階數(shù)行和列必須相等，而且它代表的是一個(gè)數(shù)
? 這一點(diǎn)和矩陣很大區(qū)別，他用||符號(hào)表示。
2.對(duì)換性質(zhì)：
? ? （1）一個(gè)排序中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排序改變奇偶性
? ? （2）行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等
? ? （3）互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)（所以出現(xiàn)相同行或列就會(huì)使行列式=0，使其不可逆）
? ? （4）行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)K，等于用數(shù)K乘此行列式
? ? （5）行列式中如果兩行（列）成比例，行列式等于0
? ? （6）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個(gè)數(shù)后加到另一列（行）對(duì)應(yīng)的元素上，
? ? ? ? ? ? ? 行列式不變。
二.矩陣
1.矩陣為方陣時(shí)才可以當(dāng)成行列式計(jì)算
2.矩陣相乘 AB? A矩陣的列數(shù)必須等于B的行數(shù)
3.注意一點(diǎn)：(AB)C=A(BC) 但是不能寫成 (AB)C=(AC)B 之類的（要保持原來(lái)的順序）
4.轉(zhuǎn)置問(wèn)題：記住轉(zhuǎn)置也是一種運(yùn)算就行了，特別是 (AB)T=BTAT
5.對(duì)稱陣：AT=A（注意與正交陣的區(qū)別（AT=A^-1））
6.伴隨陣：記住這個(gè)東西是由方陣才能夠生成的，即為方陣各個(gè)元素的代數(shù)余子式組成
? ? ? ? ? ? ? ? ? 例如：A為方陣? 既有 AA*=A*A=|A|E
7.逆矩陣：必須是方陣才有逆矩陣的存在（也就是說(shuō)滿秩的情況下）
? ? ? ? ? ? ? ? |A|!=0時(shí)? ? A^-1=1/|A| A*
8.求解比較復(fù)雜的矩陣時(shí)可以用：分塊法
三。矩陣初等變換
1.任何矩陣都可以經(jīng)過(guò)初等變換最終變成標(biāo)準(zhǔn)型
2.反正不管是初等行變換還是初等列變換，都是左乘或右乘一個(gè)可逆矩陣（方陣）
? 最終變成標(biāo)準(zhǔn)型（E）來(lái)實(shí)現(xiàn)的
3.矩陣的秩：在矩陣中有一個(gè)不等于0的r階子式D且所有r+1階子式全等于0，這個(gè)r就是秩了。
四.向量組的相關(guān)性
1.向量B 能用向量A表示的充要條件 就是秩相等 即 R(A)=R(A,B),且R(B)<=R(A)
2.向量組a1,a2,....,am線性相關(guān)的充要條件是 向量組構(gòu)成的矩陣的秩小于m,線性無(wú)關(guān)則是秩等于m
3.矩陣的秩等于它的列向量組的秩也 等于行向量組的秩
4.設(shè)m*n矩陣A的秩R（A）=r,則n元棄次線性方程組Ax=0的解集S的秩Rs=n-r
5.向量空間：n維向量集合對(duì)于向量的加法及乘法運(yùn)算封閉的，則此空間為向量空間。
6.這一章需要掌握的還有 自然基，過(guò)渡矩陣。
五.相似矩陣及二次型
1.內(nèi)積：[ x,y]=x1y1+x2y2+.....+xnyn,有[x,y]=xTy
2.范數(shù)（長(zhǎng)度):||x||=sqrt([x,x])=sqrt(x1^2+x2^2+....+xn^2)
3.n維向量x與y之間的夾角為? ceta=arccos([x,y]/(||x||*||y||))
4.正交規(guī)范基：設(shè)n維向量e1,e2,....,en是向量空間V的一個(gè)基，如果e1,e2,...,en兩兩正交，且都是單位向量，則
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? e1,e2,....,en是V的一個(gè)規(guī)范正交基。且V中的向量a 的坐標(biāo)有 nadai=eiTa=[a,ei]
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 過(guò)程還涉及到 《施密特正交化過(guò)程》
5.正交陣：ATA=E (A^-1=AT)
6.正交變換：若P為正交矩陣，則線性變換y=Px 稱為正交變換。有||y||=sqrt(yTy)=sqrt(xTPTPx)=sqrt(xTx)=||x||
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 這一點(diǎn)狠重要，說(shuō)明正交變換并不改變向量的長(zhǎng)度（范數(shù)）
7.重要定理：若n維向量a1,a2,....,ar是一組兩兩正交的非零向量，則a1,a2,....,ar線性無(wú)關(guān)。
8.設(shè)A是n階矩陣，如果數(shù)d和n維非零列向量x使得關(guān)系式:(注意A必須是方陣才能存在特征值特征向量）
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Ax=dx
? 成立，則數(shù)d稱為矩陣A的特征值，非零向量x稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值d的特征向量
? 可以進(jìn)一步寫成：(A-dE)x=0
? ? 則 |A-dE|=0 稱為特征方程? |A-dE| 稱為特征多項(xiàng)式
? 定理：設(shè)d1,d2,...,dn為方陣A的m個(gè)特征值，p1,p2...,pn依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，如果d1,d2,..,dn
? ? ? ? ? ? ? 各不相等，則p1,p2,..,pm線性無(wú)關(guān)
9.相似矩陣:設(shè)A,B都是n階矩陣（注意這里是方陣才存在相似矩陣），若有可逆矩陣P（方陣）使得
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? P^-1AP=B,則B與A相似矩陣
? ? ? ? ? ? ? ? 定理1：若n階矩陣A與B相似，則A與B的特征多項(xiàng)式相同，從而A與B的特征值亦相同
? ? ? ? ? ? ? ? 定理2：n階矩陣A能對(duì)角化的充要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。
10.對(duì)稱陣的特征值為實(shí)數(shù)。
11.設(shè)d1,d2是對(duì)稱陣A的兩個(gè)特征值，p1,p2是對(duì)應(yīng)的特征向量，且d1!=d2，則p1與p2正交。
12.設(shè)A為n階對(duì)稱陣，則必有正交陣P 使得 P^-1AP=PTAP=U,其中U是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣
13.正定二次型的形式為f=xTAx,具體要參考相關(guān)書(shū)籍
六。線性空間與線性變換
1.線性空間和向量空間概念差不多，不過(guò)對(duì)于加法和乘法運(yùn)算滿足八條規(guī)律就行了（和運(yùn)算封閉有點(diǎn)區(qū)別）
? 且在向量空間中向量是有序數(shù)組，因此范圍更加狹窄，可以這么說(shuō)向量空間只是線性空間的一個(gè)特殊情況。
2.如果在線性空間V中，存在n個(gè)元素a1,a2,...,an滿足：1.a1,a2,..,an線性無(wú)關(guān)2.V中元素都可以用他們線性表示
? 那么a1,a2,...,an稱為線性空間V的基，n 為維數(shù)。
3.基變換公式：(b1,b2,...,bn)=(a1,a2,...,an)P? ;其中P稱為過(guò)渡矩陣
4.線性變換： T(da)=dT(a)
5.線性空間Vn中，取定兩個(gè)基：
? ? ? ? ? a1,a2,.....,an
? ? ? ? ? b1,b2,.....,bn
? 有a到b的過(guò)渡矩陣為p ,vn中的線性變換T在這兩個(gè)基下的矩陣依次為A和B，那么B=P^-1AP
6.正定矩陣，正定二次型。
