此篇文章是OpenCV算法學(xué)習(xí)筆記的第二篇文章，之前的文章請看：

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對于一張圖片的放大、縮小、旋轉(zhuǎn)等操作我們統(tǒng)稱為幾何變換。幾何變換是圖像最基本也是最成用的操作，常見的幾何變換有仿射變換、投影變換、極坐標(biāo)變換。

仿射變換

二維空間的仿射變換公式為：

$\left(\begin{matrix}\bar{x}\\\bar{y}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a_{13}\\a_{23}\end{matrix}\right)$

此公式也可以表示為

$\left(\begin{matrix}\bar{x}\\\bar{y}\\1\end{matrix}\right)=A\left(\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right)$
其中

$A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&0&1\end{matrix}\right)$

$A$ 通常稱為仿射變換矩陣，由于最后一行為 $(0, 0, 1)$ ，所以在之后的討論中會省略最后一行。常見的仿射變換類型有平移、縮放、旋轉(zhuǎn)。

平移

在圖像中，通常是取左上角為原點坐標(biāo)，向右和向下為正方向。假設(shè)圖像中的任一坐標(biāo)為 $(x,y)$ ，假設(shè)圖像向右平移 $t_x$ 個單位，向下平移 $t_y$ 個單位，則平移后的坐標(biāo) $(\bar{x},\bar{y})=(x+t_x,y+t_y)$ ，用矩陣表示就是

$\left(\begin{matrix}\bar{x}\\\bar{y}\\\bar{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0&t_x\\0&1&t_y\\0&0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right)$
若 $t_x>0$ ，則表示向右移動；若 $t_y>0$ ，則表示向下移動。

縮放

這里的縮放與我們平常的認(rèn)知有所不同： $(x,y)$ 以 $(0,0)$ 為中心在水平方向上縮放 $s_x$ 倍，在方向上垂直縮放上 $s_y$ 倍，是指縮放后的坐標(biāo)距離縮放中心 $(0,0)$ 的水平垂直距離分別變?yōu)榱嗽瓉淼?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=s_x" alt="s_x" mathimg="1">、 $s_y$ 倍。若縮放中心為原點，則縮放公式為 $(\bar{x},\bar{y})=(x*s_x,y*s_y)$ ，對應(yīng)的矩陣表示則為：

$\left(\begin{matrix}\bar{x}\\\bar{y}\\\bar{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}s_x&0&0\\0&s_y&0\\0&0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right)$

如果是以 $(x_0,y_0)$ 為中心進行縮放變換，相當(dāng)于先把原點平移到 $(x_0,y_0)$ ，然后以原點為中心進行變換，最后將原點再移回去。對應(yīng)公式為 $(\bar{x},\bar{y})=((x-x_0)*s_x+x_0,(y-y_0)*s_y+y_0)$ ，用矩陣表示為：

$\left(\begin{matrix}\bar{x}\\\bar{y}\\\bar{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0&x_0\\0&1&y_0\\0&0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s_x&0&0\\0&s_y&0\\0&0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&0&-x_0\\0&1&-y_0\\0&0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right)$

以任意一點為中心的縮放變換矩陣是平移矩陣和以 $(0,0)$ 為中心的縮放矩陣組合相乘得到的。

旋轉(zhuǎn)

設(shè)坐標(biāo) $(x,y)$ 以 $(0,0)$ 順時針旋轉(zhuǎn)到 $(\bar{x},\bar{y})$ ，角度從 $\alpha$ 變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Calpha%2B%5Ctheta" alt="\alpha+\theta" mathimg="1">, $cos\alpha=\frac{x}{p}$ ， $sin\alpha=\frac{y}{p}$ ，其中 $p=\sqrt{x^2+y^2}$ ，則
$cos(\alpha+\theta)=cos\alpha cos\theta-sin\alpha sin\theta=\frac{\bar{x}}{p}\\sin(\alpha+\theta)=sin\alpha cos\theta+sin\theta cos\alpha=\frac{\bar{y}}{p}$
化簡可得 $\bar{x}=xcos\theta-ysin\theta$ ， $\bar{y}=xsin\theta+ycos\theta$ ；相反，若左邊 $(x,y)$ 逆時針旋轉(zhuǎn)到 $(\bar{x},\bar{y})$ ，則取 $\theta$ 為 $-\theta$ 即可。

矩陣表示為（順時針）：

$\left(\begin{matrix}\bar{x}\\ \bar{y}\\ \bar{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}cos\theta&-sin\theta&0\\sin\theta&cos\theta&0\\0&0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right)$

若以任意一點 $(x_0,y_0)$ 為中心旋轉(zhuǎn)，相當(dāng)于先將原點移動到旋轉(zhuǎn)中心，然后繞原點旋轉(zhuǎn)，最后移回坐標(biāo)原點，用矩陣表示為：

$\left(\begin{matrix}\bar{x}\\\bar{y}\\\bar{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0&x_0 \\ 0&1 & y_0\\0&0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}cos\theta & -sin\theta &0\\sin\theta&cos\theta&0\\0&0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&0&-x_0\\0&1&-y_0\\0&0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right)$

上面的運算順序是從右向左的。

OpenCV提供函數(shù)rotate(InputArray src, Output dst, int rotateCode)實現(xiàn)順時針90°、180°、270°的旋轉(zhuǎn)，rotateCode有以下取值：

ROTATE_90_CLOCKWISE    //順時針旋轉(zhuǎn)90度
ROTATE_180             //順時針旋轉(zhuǎn)180度
ROTATE_270_COUNTERCLOCKWISE  //順時針旋轉(zhuǎn)270度

需要注意的是OpenCV還有一個函數(shù)為flip(src, dst, int flipCode)實現(xiàn)了圖像的水平鏡像、垂直鏡像和逆時針旋轉(zhuǎn)180°，不過并不是通過仿射變換實現(xiàn)的，而是通過行列互換，它與rotate()、transpose()函數(shù)一樣都在core.hpp頭文件中。

求解仿射變換矩陣

以上都是知道變換前坐標(biāo)求變換后的坐標(biāo)，如果我們已經(jīng)知道了變換前的坐標(biāo)和變換后的坐標(biāo)，想求出仿射變換矩陣，可以通過解方程法或矩陣法。

由于仿射變換矩陣
$A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&0&1\end{matrix}\right)$
有6個未知數(shù)，所以我們只需三組坐標(biāo)列出六個方程即可。

OpenCV提供函數(shù)getAffineTransform(src, dst)通過方程法求解，其中src和dst分別為前后坐標(biāo)，函數(shù)聲明在imgproc.hpp頭文件，在Python中，可以用以下方式求解：

import cv2 as cv
import numpy as np
src = np.array([[0, 0], [200, 0], [0, 200]], np.float32)
dst = np.array([[0, 0], [100, 0], [0, 100]], np.float32)
A = cv.getAffineTransform(src, dst)

對于C++來說，一種方式是將坐標(biāo)存在Point2f數(shù)組中，另一種方法是保存在Mat中：

// 第一種方法
Point2f src1[] = {Pointy2f(0, 0), Point2f(200, 0), Point2f(0, 200)};
Point2f dst1[] = {Pointy2f(0, 0), Point2f(100, 0), Point2f(0, 100)};
// 第二種方法
Mat src2 = (Mat_<float>(3, 2) << 0, 0, 200, 0, 0, 200);
Mat dst2 = (Mat_<float>(3, 2) << 0, 0, 100, 0, 0, 100);

Mat A = getAffineTransform(src1, dst1);

對于矩陣法求解，仿射變換矩陣是平移仿射矩陣乘以縮放仿射矩陣

$\left(\begin{matrix}\bar{x}\\\bar{y}\\\bar{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0&t_x\\0&1&t_y\\0&0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s_x&0&0\\0&s_y&0\\0&0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right)$

即運算的順序是從右往左。對于矩陣的乘法，Numpy提供函數(shù)dot()實現(xiàn)，假設(shè)某個圖像先等比例縮放2倍，然后水平向右移動100，垂直向下移動200，則

import numpy as np
# 縮放矩陣
s = np.array([[0.5, 0, 0],
              [0, 0.5, 0],
              [0, 0, 1.0]])
# 平移矩陣
t = np.array([[1, 0, 100],
              [0, 1, 200],
              [0, 0, 1]])
A = np.dot(s, t)

C++中OpenCV通過“*”或gemm()函數(shù)實現(xiàn)矩陣乘法，縮放矩陣和平移矩陣可以用Mat表示。

若是縮放后以 $(x_0,y_0)$ 旋轉(zhuǎn)，則通過以下公式求：

$\left(\begin{matrix}1&0&x_0\\0&1&y_0\\0&0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}cos\theta&-sin\theta&0\\sin\theta&cos\theta&0\\0&0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s_x&0&0\\0&s_y&0\\0&0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&0&-x_0\\0&1&-y_0\\0&0&1\end{matrix}\right)$

運算順序仍是從右向左，如還需平移，則左乘平移仿射矩陣。

對于等比例縮放的仿射變換，OpenCV提供函數(shù)getRotationMatrix2D(center, angle, scale)來計算矩陣，center是變換中心；angle是逆時針旋轉(zhuǎn)的角度，如果是負(fù)數(shù)就代表順時針了；scale是等比例縮放的系數(shù)。

插值算法

在運算中，我們可能會遇到目標(biāo)坐標(biāo)有小數(shù)的情況，比如將坐標(biāo) $(3,3)$ 縮放2倍變?yōu)榱?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=(1.5%2C1.5)" alt="(1.5,1.5)" mathimg="1">，但是對于圖像來說并沒有這個點，這時候我們就要用周圍坐標(biāo)的值來估算此位置的顏色，也就是插值。

雙線性插值

用 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整數(shù)

第一步：用 $|x-[x]|$ 表示點 $(x,y)$ 到 $([x],[y])$ 的水平距離， $|[x]+1-x|$ 表示點 $(x,y)$ 到 $([x]+1,[y])$ 的水平距離，對于處于 $(x,[y])$ 的值 $f_I(x,[y])$ 用以下公式計算：

$f_I(x,[y])=|x-[x]|*f_I([x+1],y)+(1-|x-[x]|)*f_I([x],[y])$

第二步：用 $|x-[x]|$ 表示點 $(x,y)$ 到 $([x],[y]+1)$ 的水平距離， $|[x]+1-x|$ 表示點 $(x,y)$ 到 $([x]+1,[y]+1)$ 的水平距離，對于處于 $(x,[y]+1)$ 的值 $f_I(x,[y]+1)$ 用以下公式計算：

$f_I(x,[y]+1)=|x-[x]|*f_I([x+1],[y]+1)+(1-|x-[x]|)*f_I([x],[y]+1)$

第三步：用 $|y-[y]|$ 表示點 $(x,y)$ 到 $(x,[y])$ 的水平距離， $|[y]+1-y|$ 表示點 $(x,y)$ 到 $(x,[y]+1)$ 的水平距離，結(jié)合一二步中求得的 $f_I(x,[y]+1)$ 和 $f_I(x,[y])$ 計算 $f_I(x,y)$ 的值

$f_I(x,y)=|y-[y]|*f_I(x,[y]+1)+(1-|y-[y]|)*f_I(x,[y])$

實現(xiàn)

在已知仿射矩陣的基礎(chǔ)上，OpenCV提供函數(shù)warpAffine(src, M, dsize[, dst[, flags[, borderMode[, borderValue ]]]])實現(xiàn)圖像的仿射變換，其中，src是輸入圖像矩陣；M是2×3的仿射矩陣；dsize是輸出圖像的大小（二元元組）；flags是插值法，有INTE_NEAREST、INTE_LINEAR（默認(rèn)）等；borderMode是填充模式，有BORDER_CONSTANT等；borderValue是當(dāng)borderMode=BORDER_CONSTANT的時候的值。

為了使用方便，OpenCV還提供了另一個函數(shù)resize(InputArray src, OutputArray dst,Size dsize, double fx=0, double fy=0, int interpolation=INTER_LINEAR)實現(xiàn)縮放，其中dsize是輸出圖像的大小，二元元組；fx、fy分別是水平垂直方向上的縮放比例，默認(rèn)為0；interpolation是插值法。

Mat I = imread("test.png");
Mat dst;
resize(I, dst, Size(I.cols/2, I.rows/2), 0.5, 0.5);

//resize也可寫成下面這種形式
//resize(I, dst, Size(), 0.5, 0.5);

投影變換

如果物體在三維空間中發(fā)生旋轉(zhuǎn)，這種變換通常成為投影變換。由于可能出現(xiàn)陰影或者遮擋，所以投影變換很難修正。但是如果物體是平面的，那么很容易通過二維投影變換對此物體三維變換進行模型化，這就是專用的二維投影變換，可以通過以下公式表述：

$\left(\begin{matrix}\bar{x}\\\bar{y}\\\bar{z}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)$

OpenCV提供函數(shù)getPerspectiveTransform(src, dst)實現(xiàn)求解投影矩陣，需要輸入四組對應(yīng)的坐標(biāo)。該函數(shù)的Python的API，src和dst分別是4×2的二維ndarray，數(shù)據(jù)類型必須是float32，否則會報錯；返回的矩陣是float64類型的。

OpenCV提供函數(shù)warpPerspective(src, M, dsize[, dst[, flags[, borderMode[, borderValue ]]]])實現(xiàn)投影變換，參數(shù)說明和仿射變化類似。

極坐標(biāo)變換

通常通過極坐標(biāo)變化校正圖像中的圓形物體或包含在圓環(huán)中的物體。

笛卡爾坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)

對于 $xoy$ 平面上的任意一點 $(x,y)$ ，以 $(x_0,y_0)$ 為中心的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為

$r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\\ \theta=\left\{\begin{array}22\pi+arctan2(y-y_0,x-x_0),y-y_0<=0\\arctan2(y-y_0,x-x_0),y-y_0>0 \end{array}\right.$

以變換中心為圓心的同一個圓上的點，在極坐標(biāo)系 $\theta or$ 顯示為一條直線

可以用以下代碼實現(xiàn)

import math
r = math.sqrt(math.pow(x-x0)+math.pow(y-y0))
theta = math.atan2(y-y0, x-x0)/math.pi*180 # 轉(zhuǎn)化為角度

OpenCV提供函數(shù)cartToPolar(x, y[, magnitude[, angle[, angleInDegrees ]]])實現(xiàn)將原點移動到變換中心后的笛卡爾坐標(biāo)向極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，返回值magnitude和angle是和參數(shù)x,y相同尺寸和類型的ndarray，angleInDegrees為True時返回的angle是角度，否則為弧度；x是數(shù)組且數(shù)據(jù)類型必須為浮點型、float32或float64，y尺寸和類型和x一致，x、y分別代表x坐標(biāo)和y坐標(biāo)。

極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為笛卡爾坐標(biāo)

轉(zhuǎn)換公式為
$x=x_0+rcos\theta \\ y=y_0+rsin\theta$
OpenCV提供函數(shù)polarToCart(magnitude, angle[, x[, y[, angleInDegrees ]]])，返回的x,y是以原點為中心的笛卡爾坐標(biāo)，即已知 $(\theta,r)$ 和 $(x_0,y_0)$ ，計算出的是 $(x-x_0,y-y_0)$ ；magnitude對應(yīng) $r$ ，angle對應(yīng) $\theta$ ；參數(shù)說明和cartToPolar類似。

舉例已知 $\theta or$ 坐標(biāo)系中的(30, 10),(31, 10), (30, 11), (31, 11)， $\theta$ 以角度表示，問笛卡爾坐標(biāo)系中的哪四個坐標(biāo)以(-12, 15)為中心經(jīng)過極坐標(biāo)變換后得到這四個坐標(biāo)，實現(xiàn)代碼為：

import cv2 as cv
import numpy as np
# 也可以用np.array([30, 31, 30, 31]),只影響輸出下x，y的格式
angle = np.array([[30, 31], [30, 31]], np.float32) 
r = np.array([[10, 10], [11, 11]], np.float32)
x, y = cv.polarToCart(r, angle, angleInDegrees, True)
# 計算出的是(x-x0, y-y0)的坐標(biāo)
x += -12
y += 15

如果用C++實現(xiàn)，可以將角度和距離放在Mat中。

極坐標(biāo)變換處理圖像

假設(shè)要將與 $(x_0,y_0)$ 的距離范圍為 $[r_{min},r_{max}]$ ，角度范圍在 $[\theta_{min},\theta_{max}]$ 內(nèi)的點進行極坐標(biāo)向笛卡爾坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，輸出圖像 $\textbf{O}(i,j)$ 的值用以下公式計算：
$\textbf{O}(i,j)=f_{\textbf{I}}(x_0+(r_{min}+r_{step}i)*cos(\theta_{min}+\theta_{step}j),y_0+(r_{min}+r_{step}i)*sin(\theta_{min}+\theta_{step}j))$
其中， $0<r_{step}<=1$ 代表步長， $\theta_{step}$ 一般取值 $\frac{360}{180*N}$ ， $N>=2$ ，輸出圖像矩陣寬 $w\approx\frac{r_{max}-r_{min}}{r_{step}}+1$ ，高 $h\approx\frac{\theta_{max}-\theta_{max}}{\theta_{step}}+1$ 。

實現(xiàn)

首先了解以下Numpy的tile(a, (m, n))函數(shù)，此函數(shù)返回一個m×n個a平鋪成的矩陣，垂直方向m個，水平方向n個，如：

a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
print(np.tile(a, (2, 3)))

輸出

array([[1, 2, 1, 2, 1, 2],
       [3, 4, 3, 4, 3, 4],
       [1, 2, 1, 2, 1, 2],
       [1, 2, 1, 2, 1, 2]])

對C++來說，OpenCV提供函數(shù)repeat(const Mat& src, int ny, int nx)實現(xiàn)類似的功能。

下面的代碼是用Python實現(xiàn)極坐標(biāo)變換，使用的是最近鄰插值法，也可以使用其他插值方法：

def polar(I, center, r, theta=(0, 360), rstep=1.0, thetastep=360.0/(180*8)):
    """
    :param I: 輸入的圖像矩陣
    :param center: 極坐標(biāo)變換中心
    :param r: 二元元組，代表最小和最大距離
    :param theta: 二元元組，角度范圍
    :param rstep: r的變換步長
    :param thetastep: theta的變換步長
    :return 輸出圖像矩陣
    """
    # 得到距離的最小最大范圍
    r_min, r_max = r
    # 角度最小最大范圍
    theta_min, theta_max = theta
    # 輸出圖像的高、寬
    h = int((r_max - r_min)/rstep) + 1
    w = int((theta_max - theta_min)/thetastep) + 1
    O = 125 * np.ones((h, w), I.dtype)
    # 極坐標(biāo)變換
    # linspace(start, stop, num=50)產(chǎn)生從start到stop，數(shù)量為num的等差數(shù)列
    r = np.linspace(r_min, r_max, h)
    r = np.tile(r, (w, 1))
    # 轉(zhuǎn)置
    r = np.transpose(r)
    theta = np.linspace(theta_min, theta_max, w)
    theta = np.tile(theta, (h, 1))
    x, y = cv2.polarToCart(r, theta, angleInDegrees=True)
    # 最近鄰插值法
    for i in range(h):
        for j in range(w):
            # round()按照指定精度四舍五入
            px = int(round(x[i][j])+cx)
            py = int(round(y[i][j])+cy)
            if (px>=0 and py <= w-1) and (py >=0 and py <= h-1):
                O[i][j] = I[py][px]
    return O

OpenCV3.X以上提供線性極坐標(biāo)函數(shù)linearPolar(src, dst, Point2f center, double maxRadius, int flags);實現(xiàn)了我們上面的函數(shù)效果，其中center是變換中心，maxRadius是最大距離，flags是插值算法，值和函數(shù)resize、warpAffine一樣。需要注意的是，linearPolar函數(shù)生成的極坐標(biāo)， $\theta$ 在垂直方向上， $r$ 在水平方向上，和之前討論的相反，旋轉(zhuǎn)90°后得到的結(jié)果類似。

對數(shù)極坐標(biāo)函數(shù)

OpenCV3.X中提供函數(shù)logPolar(src, dst, center, M, flags)，其中M是系數(shù)，值大一些效果好；flags等于WARP_FILL_OUTLIERS代表笛卡爾坐標(biāo)向?qū)?shù)坐標(biāo)變換，等于WARP_INVERSE_MAP代表對數(shù)坐標(biāo)向笛卡爾坐標(biāo)變換。

將笛卡爾坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為對數(shù)坐標(biāo)的公式為：

$\bar{r}=M * log \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}\\ \theta=\left\{\begin{array}22 \pi+ arctan2(y-y_0,x-x_0),y-y_0<=0\\arctan2(y-y_0,x-x_0),y-y_0>0 \end{array}\right.$

反過來：

$x=x_0-exp(\frac{\bar{r}}{M})cos\theta,y=y_0-exp(\frac{\bar{r}}{M}))sin\theta$

通過對M值的修改可以發(fā)現(xiàn)M值越大，在水平方向得到的信息越多。

參考

《OpenCV算法精解——基于Python和C++》（張平）第三章

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OpenCV算法學(xué)習(xí)筆記之幾何變換

OpenCV算法學(xué)習(xí)筆記之幾何變換

仿射變換

平移

縮放

旋轉(zhuǎn)

求解仿射變換矩陣

插值算法

最近鄰插值

雙線性插值

實現(xiàn)

投影變換

極坐標(biāo)變換

笛卡爾坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)

極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為笛卡爾坐標(biāo)

極坐標(biāo)變換處理圖像

實現(xiàn)

對數(shù)極坐標(biāo)函數(shù)

參考

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仿射變換

平移

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投影變換

極坐標(biāo)變換

笛卡爾坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)

極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為笛卡爾坐標(biāo)

極坐標(biāo)變換處理圖像

實現(xiàn)

對數(shù)極坐標(biāo)函數(shù)

參考

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