分形（Fractal）一詞，是由美國數(shù)學家曼德勃羅先生（Mandelbrot）創(chuàng)造出來的。分形幾何學是一門以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學。按照分形幾何學的觀點，一切復雜的對象雖然看似雜亂無章，但他們具有相似性。簡單地說，就是把復雜對象的某個局部進行放大，其形態(tài)和復雜程度與整體相似。
本文給出基于復動力系統(tǒng)，例如Mandelbrot集、Julia集；基于迭代函數(shù)系統(tǒng)，例如科赫雪花、謝爾賓斯基三角形。
一、基于復動力系統(tǒng)
因為復數(shù)可以用平面直角坐標系上的點來表示。橫坐標軸表示復數(shù)的實數(shù)部分，縱坐標軸表示復數(shù)的虛數(shù)部分，則復數(shù) A+Bi就對應(yīng)了平面上的點 (A, B)，其中復數(shù)A+Bi的模就是A^2 + B^2 的算數(shù)平方根。這個平面直角坐標系也就成為了復平面。
- Julia集
所謂Julia集就是復平面上的點經(jīng)過如下形式：
的無數(shù)次迭代得到的復數(shù)的模不大于2的點構(gòu)成的集合。其中Z代表復平面上的點，C是任意的復數(shù)。對于不同的C值，不同的迭代次數(shù)，所得到的圖像是不同的。下面給出幾種不同的C值對應(yīng)的圖像。之所以限定模值為2，是因為隨著迭代次數(shù)的增大，模大于2的點肯定會發(fā)散。為了圖片的美觀，根據(jù)不同的模值定義不同的顏色。
- Mandelbrot集
生成Mandelbrot集和Julia集的原理是類似的，唯一的不同在于，迭代的表達式變?yōu)椋?/p>
其中Z0表示復平面上的每個點。計算Mandelbrot集，也就是記錄每個點在迭代過程中得到的復數(shù)的模值大于2時的迭代次數(shù)，然后根據(jù)迭代次數(shù)進行繪圖，不同的迭代次數(shù)用不同的顏色表示，即可繪制出圖。
在Julia集中，C值是任意給定的復平面上的一點，對于所有復平面上的點Z而言，都是一樣的。而Mandelbrot集中C就是該點Z，對于所有復平面上的點Z而言，都是不一樣的。Julia集每個圖形表示的是一個C值，而C值肯定是Z0值中的一個。因此Mandelbrot集是Julia集的高度概括，也就是任意一個C值對應(yīng)的Julia圖形，肯定可以在Mandelbrot集的圖形中找到與其對應(yīng)的圖像。下面給出Mandelbrot集的圖像：
下面給出
時的Mandelbrot集的圖像：
下面給出次數(shù)為2時的Mandelbrot集局部放大時的圖像：
二、基于迭代函數(shù)
基于迭代函數(shù)就是根據(jù)一定的規(guī)則，迭代生成分形圖像。下面以謝爾賓斯基三角形和科赫雪花為例：
- 謝爾賓斯基三角形
由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基在1915年提出。
迭代規(guī)則：
1，取一個底色為黑色的三角形，一般為等邊三角形；
2，沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形；
3，將中間的那一個小三角形底色變?yōu)榘咨?4，對其余三個小三角形重復步驟2，3；
5，重復以上步驟；
圖示：
除了迭代法之外，也可以利用隨機的方法獲得。
隨機方法規(guī)則：
1，在平面上選取3個點，并標出，為了美觀，這3個點可以為等邊三角形的頂點；
2，在平面上任意選取一個點作為第4個點，作為候選點，在平面上標出；
3，在數(shù)字1，2，3中隨機選擇一個數(shù)字。數(shù)字1，2，3的分別點1，2，3對應(yīng)；
4，選中的點和當前候選點的中點作為新的候選點，并在平面上標出；
5，重復步驟3，4；
圖示：
- 科赫雪花曲線
最早出現(xiàn)在海里格·馮·科赫1904年的論文中。
規(guī)則：
1，對于一個等邊三角形，把每一邊都三等分；
2，將每個邊的中間一段，向外旋轉(zhuǎn)60度，作為等邊三角形的一邊，繪制出等邊三角形；
3，將中間的這一段去掉；
4，重復上述步驟；
圖示：
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