2.1環(huán)同態(tài)，理想，商環(huán)

  1. 設(shè) F 是一個(gè)域, 令
    S = \{ aE_{11} \mid a \in F \}. 證明：S 是 M_n(F) 的一個(gè)子環(huán), 并且求 S 的單位元。
    【解答】證明子環(huán)只需要說明對于減法和乘法封閉即可。
    【證明】aE_{11} - bE_{11} = (a-b)E_{11} \in S,aE_{11}bE_{11}= abE_{11}

它的單位元是E_{11}，這說明子環(huán)R_1的單位元和最初的環(huán)R的單位元是有可能不一樣的。并且子環(huán)有時(shí)候未必會有單位元。

  1. 設(shè) R 是有單位元的環(huán), 證明：R 的每一個(gè)非平凡的理想都不可能含有單位元。
    【解答】假設(shè)I是R的一個(gè)非平凡的理想，存在a \in R且a \notin I，那么ae = a \notin I這與I是理想矛盾。
    因此R的每一個(gè)非平凡的理想都不可能含有單位元。

  1. 證明：域 F 沒有非平凡的理想。
    【解答】同樣用反證法，我們假設(shè)I是域F的一共非平凡理想，假設(shè)a \in I那么a^{-1}\in F，所以1 = aa^{-1} \in I。所以1 \in I,根據(jù)2中的結(jié)論，非平凡的理想不可能包含單位元，因此F沒有非平凡的理想。

  2. 設(shè) R 是一個(gè)有單位元 1(\neq 0) 的交換環(huán), 證明：如果 R 沒有非平凡的理想, 那么 R 是一個(gè)域。

【解答】R已經(jīng)是一共有單位元的交換環(huán)了，現(xiàn)在只需要說明R中的每個(gè)非零元都可逆即可。
對于任意的a \in R且a不是零元，考慮Ra = \{ra| r\in R\}由于r_1a-r_2a = (r_1 -r_2)a \in Ra,r(r_1a)=(rr_1)a\in Ra。所以Ra是R的一個(gè)理想。那么它只能是一個(gè)平凡的理想，且Ra \neq \{0\}
所以Ra = R ，1 \in Ra,也就是存在b \in R使得ba = 1所以a可逆，這樣就說明了R是一個(gè)域。

  1. 證明：若 \sigma 是環(huán) R 到 \tilde{R} 的一個(gè)環(huán)同構(gòu), 且 R 有單位元 1, 則 \sigma(1) 是 \tilde{R} 的單位元。
    從而若 \sigma 是環(huán) R 到 \tilde{R} 的一個(gè)環(huán)同構(gòu), 則 \sigma 是 R 到 \tilde{R} 的一個(gè)雙射, 且 \sigma 是 R 到 \tilde{R} 的一個(gè)環(huán)同態(tài)。

【解答】因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Csigma" alt="\sigma" mathimg="1">是一個(gè)同構(gòu)，所以\tilde{R}中的所有元素都可以表示成\sigma(a)的形式。于是\sigma(1)\sigma(a) = \sigma(1 \cdot a) = \sigma(a) ,\sigma(a)\sigma(1) = \sigma(a \cdot 1) = \sigma(a)所以\sigma(1)是\tilde{R}中的單位元
。

  1. 若 R 是有單位元 1(\neq 0) 的交換環(huán), 且 R 沒有非零的零因子, 則 R 稱為整環(huán)。證明：有限整環(huán)一定是域。
    【解答】我們假設(shè)有限整環(huán)R = \{ a_1,a_2,\cdots,a_n \}
    那么任意的a\in R我們知道aR = \{aa_1,aa_2,\cdots,aa_n\}兩兩不同，否則做差，根據(jù)整環(huán)的性質(zhì)可以推出矛盾。
    于是我們就知道aR = R,也就是說，對于任意的a \in R存在b\in R使得ab = 1所以a可逆。根據(jù)a的任意性，我們知道R中所有非零元都可逆。于是有限整環(huán)一定是域。

  2. 證明：在有單位元的有限環(huán) R 中, 任一不是零因子的非零元一定是可逆元。

【證明】和第6題一樣，取a不是零因子，這時(shí)候就可以驗(yàn)證aR = R，剩余的步驟和6一樣。

【注釋】第七題和第六題的區(qū)別在于，第6題的a是可以隨便取的，但是第7題的a不能取零因子。剩余步驟基本一樣。

  1. 若 R 是一個(gè)有單位元 1(\neq 0) 的環(huán), 且 R 的每個(gè)非零元都可逆, 則 R 稱為一個(gè)除環(huán)或體。令 \mathscr{H} = \left\{ \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\overline{\beta} & \overline{\alpha} \end{pmatrix} \mid \alpha, \beta \in \mathbb{C} \right\},
    證明：\mathscr{H} 是一個(gè)除環(huán), 且 \mathscr{H} 與四元數(shù)體 \mathbb{H} 環(huán)同構(gòu)。

【證明】我們不妨設(shè)\alpha = a +b j ,\beta = c +di
令映射\sigma : \mathscr{H} \rightarrow \mathbb{H}

\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\overline{\beta} & \overline{\alpha} \end{pmatrix} \rightarrow a+bi+cj+dk

  1. 設(shè) D 是一個(gè)除環(huán), 證明：M_n(D) 是單環(huán)。
    【注釋】類似單群沒有非平凡正規(guī)子群的定義，單環(huán)是指一個(gè)環(huán)沒有非平凡的理想。
    【證明】我們現(xiàn)在任取一個(gè)J \neq \{0\}為M_n(D)的一個(gè)理想，存在非零矩陣A \in J，A中有非零元a_{ij} 。所以E_{ii}AE_{jj} = a_{ij}E_{ij}，進(jìn)一步可以推出E_{ij}\in J，于是E_{mn} = E_{mi}E_{ij}E_{jn} \in J。由于m,n的任意性，我們找到了M_n(D)的一組基地都屬于J，進(jìn)而J = M_n(D)。
    這說明了M_n(D)沒有非平凡的理想，是一個(gè)單環(huán)。

  2. 設(shè) D 是一個(gè)除環(huán), 把 M_n(D) 中除去第 j 列外其余元素全為 0 的矩陣組成的集合記做 M_n^{(j)}(D)。證明：M_n^{(j)}(D) 是環(huán) M_n(D) 的一個(gè)左理想, 并且 M_n^{(j)}(D) = M_n^{(j)}(D)E_{jj}。

【證明】①首先證明對于減法封閉。
②證明對于\forall H \in M_n^{(j)}(D), A \in M_n(D), AH \in M_n^{(j)}(D),它是一個(gè)左理想。
③任意的\forall H \in M_n^{(j)}(D).我們有HE_{jj} = H
這個(gè)結(jié)果顯然成立。

  1. 設(shè) \sigma 是環(huán) R 到 \tilde{R} 的一個(gè)環(huán)同態(tài), 且是滿同態(tài)。證明：
    (1) 若 I 是 R 的一個(gè)理想, 則 \sigma(I) 是 \tilde{R} 的一個(gè)理想；
    (2) 若 \tilde{I} 是 \tilde{R} 的一個(gè)理想, 則 \sigma^{-1}(\tilde{I}) 是 R 的一個(gè)理想, 并且 \text{Ker}\sigma \subseteq \sigma^{-1}(\tilde{I}), 其中 \sigma^{-1}(\tilde{I}) 表示在 \sigma 下 \tilde{I} 的原像集。
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