玩具理論：陰陽五行的規(guī)范動(dòng)力學(xué)

最近有朋友問我，是否有可能用現(xiàn)代物理的方法來研究陰陽五行這一中華傳統(tǒng)文化內(nèi)容？

一開始我很自然地認(rèn)為這是無稽之談，但反過來一想，如果不考慮現(xiàn)實(shí)情況，完全從開腦洞的角度來想的話，這事倒也不是完全沒法用現(xiàn)代物理來研究。

如果，我們假定，陰陽五行是可以用規(guī)范理論來描述的物理實(shí)在，那它應(yīng)該長什么樣呢？

好了，下面就開始進(jìn)入腦洞時(shí)間。

首先，五行存在相生相克關(guān)系，我們將五行具體內(nèi)容抽象掉，僅用符號(hào)來表示的話，就是如下關(guān)系：

  • 相生：a生b，b生c，c生d，d生e，e生a
  • 相克：a克c，c克e，e克b，b克d，d克a

這樣的關(guān)系可以用五角陣來描述，相生是外接五邊形，相克是內(nèi)接五角星。

關(guān)鍵在于，我們?nèi)绾斡靡?guī)范理論來描述這一關(guān)系？尤其，如何用群來描述這一關(guān)系呢？

在不考慮陰陽的情況下，我們引入一種無屬性的“氣”，它本身不具有任何五行屬性，但可以轉(zhuǎn)化為五行中的任意一種，它本身用 q 來表示。這樣五行元素加上氣總共六個(gè)元素被稱為“元素場(chǎng)”，是一個(gè)實(shí)標(biāo)量場(chǎng)。

接著，我們來構(gòu)造五行生克關(guān)系為如下映射：

G(x, y) = - G(y, x)\\ G(a, q) = b - q;\ G(b, q) = c - q;\ G(c, q) = d - q;\ G(d, q) = e - q;\ G(e, q) = a - q\\ G(a, c) = q - c;\ G(b, d) = q - d;\ G(c, e) = q - e;\ G(d, a) = q - a;\ G(e, b) = q - b\\ G(x, y) = 0 \ for\ otherwise

從而我們可以由此構(gòu)造出五行的生克場(chǎng)，它是一種規(guī)范場(chǎng)：

A_a^b = - A_a^q;\ A_b^c = - A_b^q;\ A_c^d = - A_c^q;\ A_d^e = - A_d^q;\ A_e^a = - A_e^q\\ A_a^q = - A_a^c;\ A_b^q = - A_b^d;\ A_c^q = - A_c^e;\ A_d^q = - A_d^a;\ A_e^q = - A_e^b

其它元素都為 0。我們將這十組生成元記為 \sigma_i，而現(xiàn)在空間中的規(guī)范場(chǎng)只能是上述十個(gè)生成元的線性組合。

由于我們添加了無屬性的氣元素，所以現(xiàn)在生克場(chǎng)有這樣一種特性：

\sum_i A^i_{j \mu} = 0

這個(gè)特性非常重要，我們?cè)诤竺鏁?huì)看到。

接著，依然不考慮陰陽，我們來嘗試構(gòu)造規(guī)范場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)模型。

我們用 \phi^i 來表示五行場(chǎng)，它有六個(gè)獨(dú)立分量，且每個(gè)分量的取值都是實(shí)數(shù)。而由生克作用 A^i_j 構(gòu)成的矢量場(chǎng) A^i_{j \mu} 是一個(gè)每個(gè)分量都是一個(gè)生克作用的矢量場(chǎng)：A^i_{j \mu} = \sum_a e^a_{\mu} A^i_{j (a)}。

下面，根據(jù)傳統(tǒng)規(guī)范場(chǎng)論的思路，我們可以構(gòu)造如下作用量密度：

\begin{cases} L = \frac{1}{2} m^2 \phi^i \phi_i + \frac{1}{2} D_\mu \phi^i D^\mu \phi_i - \frac{G}{4} F^i_{j \mu \nu} F^{j \mu \nu}_i\\ D_\mu \phi^i = \partial_\mu \phi^i + g A^i_{m \mu} \phi^m\\ F^i_{j \mu \nu} = \partial_\mu A^i_{j \nu} - \partial_\nu A^i_{j \mu} + g \left( A^i_{k \mu} A^k_{j \nu} - A^i_{k \nu} A^k_{j \mu} \right) \end{cases}

這是標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范場(chǎng)論的形式，我們可以加上熟悉的 Lorentz 規(guī)范固定條件 \partial^\mu A^i_{j \mu} = 0。將所有自由運(yùn)動(dòng)項(xiàng)與生克場(chǎng)自作用項(xiàng)去掉后，五行場(chǎng)與生克場(chǎng)之間存在如下相互作用項(xiàng)（A_{i j \mu} = \delta_{i k} A^k_{j \mu}）：

L_{\mathrm{int}} = g A^{\mu}_{i m} \phi^m \partial_\mu \phi^i + \frac{g^2}{2} A^i_{m \mu} A^{n \mu}_{i} \phi^m \phi_n

顯然，五行生克關(guān)系就是通過這兩項(xiàng)實(shí)現(xiàn)的。

我們下面來看經(jīng)典情況下五行生克的運(yùn)動(dòng)方程，容易從作用量密度導(dǎo)出如下：

\begin{cases} \partial_\mu \partial^\mu \phi_i = m^2 \phi_i + g \left( A^{\mu}_{k i} - A^{\mu}_{i k} \right) \partial_\mu \phi^k + g^2 A^{k}_{i \mu} A^{\mu}_{k l} \phi^l\\ G \partial_\nu F^{j \mu \nu}_{i} = g \phi^j \partial^\mu \phi_i + g^2 \phi^j A^{\mu}_{i k} \phi^k - G g \left( A^{j}_{k \nu} F^{k \mu \nu}_{i} - A^{k}_{i \nu} F^{j \mu \nu}_{k} \right) \end{cases}

直接硬解這個(gè)方程式非常麻煩的，比如生克場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)張量 F^i_{j \mu \nu} 中包含了生克場(chǎng)的二次項(xiàng)，所以整個(gè)生克場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方程式一個(gè)二階矩陣的偏微分方程，很難直接求解。

但，從另一方面來說，我們注意到之前提到過的生克場(chǎng)的特性 \sum_i A^i_{j \mu} = 0，顯然這一特性也會(huì)傳遞給其場(chǎng)強(qiáng)張量：\sum_i F^i_{j \mu \nu} = 0，因此我們對(duì)生克場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)張量的運(yùn)動(dòng)方程中所有元素上標(biāo)求和，可得：

\partial_\mu \phi^i = - g A^{i}_{k \mu} \phi^k

這個(gè)意義就很明顯了：元素 i 的變化量取決于能生克它的所有元素與相應(yīng)生克場(chǎng)的量，很符合我們的五行直覺。

將這個(gè)結(jié)果代回運(yùn)動(dòng)方程可得：

\begin{cases} m^2 \phi_i = 0\\ \partial_\nu F^{j \mu \nu}_{i} = g \left( A^{k}_{i \nu} F^{j \mu \nu}_{k} - A^{j}_{k \nu} F^{k \mu \nu}_{i} \right) \end{cases}

也即，五行場(chǎng)的靜質(zhì)量必須為 0，而生克場(chǎng)雖然可以作用在五行場(chǎng)上引起元素生克變化，但五行場(chǎng)并不是生克場(chǎng)的源，生克場(chǎng)時(shí)自身的源。因此，如果空間中并不預(yù)先存在生克場(chǎng)，那么即便有再多的五行場(chǎng)，也無法憑空創(chuàng)造出五行生克變化。當(dāng)然，換個(gè)角度來說，五行場(chǎng)在時(shí)空中分布的變化，也必然伴隨著生克場(chǎng)的，且它不僅僅是引出生克場(chǎng)，而是確定了在變化位置生克場(chǎng)的具體值與方向，所以也可以視為一種源。

此外，在不考慮生克場(chǎng)自作用的情況下，它的運(yùn)動(dòng)方程就是很常見的最典型的波動(dòng)方程，但五行場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方程卻是一階偏微分方程，顯然兩者的行為非常不同。

非但如此，由于生克場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)張量中包含了生克場(chǎng)的一次項(xiàng)與二次項(xiàng)兩部分，生克場(chǎng)彼此之間的相互作用可以變得非常復(fù)雜而有趣，會(huì)呈現(xiàn)出很多復(fù)雜的互動(dòng)關(guān)系。比如，如果同時(shí)存在 a 生 b 與 b 生 c 這兩個(gè)生克場(chǎng)，那此時(shí)運(yùn)動(dòng)方程將變成：

A^i_{j \mu} = \delta^a_j \left( \delta^i_b - \delta^i_q \right) V_\mu + \delta^b_j \left( \delta^i_c - \delta^i_q \right) W_\mu \Rightarrow\\ \begin{cases} F^b_{a \mu \nu} = \partial_\mu V_{\nu} - \partial_\nu V_{\mu}\\ F^c_{a \mu \nu} = g \left( W_{\mu} V_{\nu} - W_{\nu} V_{\mu} \right)\\ F^q_{a \mu \nu} = \partial_\nu V_{\mu} - \partial_\mu V_{\nu} + g \left( W_{\nu} V_{\mu} - W_{\mu} V_{\nu} \right)\\ F^c_{b \mu \nu} = \partial_\mu W_{\nu} - \partial_\nu W_{\mu}\\ F^q_{b \mu \nu} = \partial_\nu W_{\mu} - \partial_\mu W_{\nu} \end{cases}\\ \therefore \begin{cases} \partial^\nu \partial_\nu V_{\mu} = 0\\ \partial^\nu \partial_\nu W_{\mu} = 0\\ W_{\nu} \partial^\nu V_{\mu} = 0\\ 2 V_{\nu} \partial^\nu W_{\mu} = V^{\nu} \partial_\mu W_{\nu} - W^{\nu} \partial_\mu V_{\nu} \end{cases}

可見，此時(shí)在預(yù)料中的兩個(gè)波動(dòng)方程（第一、二條）之外，還多了兩條耦合方程，使得這兩個(gè)場(chǎng)并沒有那么獨(dú)立。當(dāng)然，這組方程有一個(gè)很簡單的形式：W^\mu = \lambda V^\mu，這樣上述方程就退化為（這里還記上規(guī)范固定條件）：

\begin{cases} \partial_\mu V^\mu = 0\\ V^\nu \partial_\nu V_\mu = 0\\ V^\mu \partial_\mu \lambda = 0\\ \partial^\nu \partial_\nu V_{\mu} = 0\\ \partial^\nu \partial_\nu \lambda V_{\mu} + 2 \partial_\nu \lambda \partial^\nu V_{\mu} = 0\\ V^{\nu} V_{\nu} \partial_\mu \lambda = 0 \end{cases}

顯然，如果 a 生 b 的生克場(chǎng)非類光，那系數(shù) \lambda 就必須為常數(shù)，運(yùn)動(dòng)方程就變?yōu)椋?/p>

\begin{cases} \partial_\mu V^\mu = 0\\ V^\nu \partial_\nu V_\mu = 0\\ \partial^\nu \partial_\nu V_{\mu} = 0 \end{cases}

顯然波動(dòng)方向與自身方向正交的平面波、球面波甚至 Column 勢(shì)就能滿足條件了。

而如果 a 生 b 的生克場(chǎng)類光，那系數(shù)可以不是常數(shù)，從而方程為：

\begin{cases} \partial_\mu V^\mu = 0\\ V^\nu \partial_\nu V_\mu = 0\\ V^\mu \partial_\mu \lambda = 0\\ \partial^\nu \partial_\nu V_{\mu} = 0\\ \partial^\nu \partial_\nu \lambda V_{\mu} + 2 \partial_\nu \lambda \partial^\nu V_{\mu} = 0\\ V^{\nu} V_{\nu} = 0 \end{cases}

則我們可以取 a 生 b 的生克場(chǎng)依然是一個(gè)波動(dòng)方向與自身方向正交的類光場(chǎng)，同時(shí) \lambda 也是一個(gè)波動(dòng)場(chǎng)所以滿足 \partial^\mu \partial_\mu \lambda = 0，同時(shí)兩者須滿足如下耦合方程：

\begin{cases} V^\mu \partial_\mu \lambda = 0\\ \partial_\nu \lambda \partial^\nu V_{\mu} = 0 \end{cases}

即 \lambda 的波動(dòng)方向與生克場(chǎng)、生克場(chǎng)的波動(dòng)方向都正交。也即，我們可以認(rèn)為現(xiàn)在這兩個(gè)生克場(chǎng)雖然在每一點(diǎn)上的作用方向都是相同的，但強(qiáng)度存在一個(gè)差異，且這個(gè)差異的變化傳播方向與場(chǎng)本身的方向、傳播方向都正交。

可以預(yù)期到，如果在初始狀態(tài)下十種生克場(chǎng)都存在，那最后的相互作用會(huì)是非常復(fù)雜的，簡單的正交關(guān)系將不再滿足條件，我們會(huì)面對(duì)一大坨完全“糾纏”在一起的生克場(chǎng)，其中的動(dòng)力學(xué)關(guān)系與代數(shù)關(guān)系會(huì)非常復(fù)雜。

比如，如果現(xiàn)在存在這么幾種生克場(chǎng)：a 生 b、b 克 d、d 克 a、a 克 c、c 克 e、e 生 a，那么此時(shí)由于 F^a_{a \mu \nu} 必然恒為零，從而 A^b_{a \mu} A^d_{b \mu} A^a_{d \nu}、A^b_{a \mu} A^d_{b \nu} A^a_{d \mu}、A^c_{a \mu} A^e_{c \mu} A^a_{e \nu} 與 A^c_{a \mu} A^e_{c \nu} A^a_{e \mu} 之間就必須滿足復(fù)雜的代數(shù)關(guān)系，使這四項(xiàng)必須相互抵消，否則將造成原本不應(yīng)該存在的 A^a_{a \mu} 的出現(xiàn)，即 a 元素自身可以無中生有或者憑空消失。從這個(gè)角度來說，或許它就是陣法的基本原理吧……

接著，我們來考慮陰陽。

從我們樸素的情感來說，陰陽應(yīng)該是相互抵消的二元對(duì)立的客體。但在中醫(yī)中我們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)人可能陰虛的同時(shí)，陽也虛。事實(shí)上，我們可以發(fā)現(xiàn)陰陽應(yīng)該不是相互抵消的二元對(duì)立體，而應(yīng)該是可以彼此共存的，只不過兩者之間允許存在一定的轉(zhuǎn)化。

從這個(gè)角度來說，最簡單的選擇就是將五行場(chǎng)與生克場(chǎng)都復(fù)化，實(shí)部為陽，虛部為陰。生克場(chǎng)如果始終保持實(shí)數(shù)，那就是陽木生陽火，陰木生陰貨。但如果生克場(chǎng)也是復(fù)數(shù)，那樣陽木可以生陽火，同時(shí)也可以生出部分陰火，甚至全部都是陰火。

但，無論我們?nèi)绾握{(diào)整復(fù)化后的生克場(chǎng)，我們依然要求關(guān)系 \sum_i A^i_{j \mu} = 0 必須滿足。

當(dāng)然，這只是一種沒有什么理論根據(jù)的純腦洞罷了，作為我們建立模型的理論指導(dǎo)。我們完全可以換一套理論來建立模型，這個(gè)就看大家自己的喜好了。

上面只是經(jīng)典的規(guī)范場(chǎng)論模型，我們當(dāng)然也可以考慮將其量子化。

標(biāo)準(zhǔn)的量子化方案，就是利用上述作用量做配分泛函，所有場(chǎng)都對(duì)應(yīng)到相應(yīng)的算符，從而可以計(jì)算相應(yīng)的量子過程：

Z_0 \left[ \phi, A_\mu \right] = \int \exp \left( - i \int L d\varepsilon \right) [ d\phi] [d A_\mu]

我們拋開繁瑣的計(jì)算細(xì)節(jié)，只從性質(zhì)上對(duì)量子化后的五行生克場(chǎng)進(jìn)行簡單的分析。

在量子化之后，我們考慮最常見的費(fèi)曼圖來做分析的工具?，F(xiàn)在相互作用頂點(diǎn)主要有這么兩個(gè)（這里考慮陰陽帶來的復(fù)化操作，且不考慮生克場(chǎng)自身的相互作用）：

\begin{cases} L_{3} = g \left( \bar A^{i \mu}_{j} \bar \phi^{j} \partial_{\mu} \phi_{i} + A^{i \mu}_{j} \phi^{j} \partial_\mu \bar \phi_i \right)\\ L_{4} = g^2 \bar A^{i \mu}_{k} A^{l}_{i \mu} \bar \phi^k \phi_l \end{cases}

看似很正確，但這里存在一個(gè)問題：生克場(chǎng)現(xiàn)在是傳統(tǒng)意義上的規(guī)范場(chǎng)，這點(diǎn)沒錯(cuò)，但五行場(chǎng)的行為已經(jīng)發(fā)生了極大的不同，它滿足的運(yùn)動(dòng)方程不是傳統(tǒng)的有源波動(dòng)方程，而是一階偏微分方程 \partial_\mu \phi^i = - g A^{i}_{k \mu} \phi^k，它可以轉(zhuǎn)化為如下形式：

\bar \phi_i \partial^\mu \partial_\mu \phi^i = g^2 A^{i}_{j \mu} A^{j}_{k \mu} \bar \phi_i \phi^k

這里，前者是自由運(yùn)動(dòng)的傳播子，后者是相互作用項(xiàng)，換言之，三線頂角相互作用必須為零。

因此，在五行生克的量子過程中，五行場(chǎng)之間只存在四線頂角作用而不存在三線頂角作用，這是非常有趣的。

現(xiàn)在，兩個(gè)五行場(chǎng)之間的相互作用最簡單的形式是這樣的：

最簡單量子過程的費(fèi)曼圖草圖（*實(shí)在找不到像樣的費(fèi)曼圖制作工具了……*）

上下的直線是五行場(chǎng)，中間的紅圈是兩個(gè)生克場(chǎng)。

我們可以將這個(gè)理論與量子色動(dòng)力學(xué)做一個(gè)比較：QCD 中中間規(guī)范場(chǎng)膠子攜帶一個(gè)色與一個(gè)反色，將夸克的色荷進(jìn)行改變。而在我們的五行生克場(chǎng)中，中間規(guī)范場(chǎng)是生克場(chǎng)，它也攜帶一個(gè)“色”和一個(gè)“反色”，比如生成一個(gè) b 與消耗一個(gè) q。兩者在形式上非常相似，且都有一個(gè)特點(diǎn)：單個(gè)粒子上的所有“色”的總量是守恒的。

真正有趣的地方在于，量子化之后的場(chǎng)存在真空能，也就是和輸入輸出無關(guān)的五行生克場(chǎng)形成的“線團(tuán)”。而這個(gè)線團(tuán)中因?yàn)榭梢源嬖谖逍袌?chǎng)，所以也就可以造成其它五行場(chǎng)的屬性改變。

例如，在經(jīng)典情況下，如果空間中并不存在生克場(chǎng)，那么對(duì)應(yīng)的五行元素是不會(huì)發(fā)生變化的。比如沒有 a 生 b 的場(chǎng)，那即便 a 元素再多、q 元素再多，b 元素的量也不會(huì)發(fā)生變化。

但在量子化之后，情況發(fā)生了改變——真空中可以存在隨機(jī)漲落的五行生克場(chǎng)，它們只需要在不確定關(guān)系約束的時(shí)間與空間范圍內(nèi)回歸虛無就可以。那么比如現(xiàn)在隨機(jī)漲落出了一個(gè) a 生 b 的場(chǎng)與一個(gè)與之相反的場(chǎng)，由于五行場(chǎng)不會(huì)改變生克場(chǎng)而只會(huì)被生克場(chǎng)改變，那么這個(gè)隨機(jī)漲落出來的生克場(chǎng)就可以作用在 a 元素上，使得空間中的 q 元素減少而 b 元素增加，原本不會(huì)發(fā)生改變的 b 元素由于真空量子漲落而發(fā)生了相應(yīng)的漲落。而作用結(jié)束后，這個(gè)生克場(chǎng)又和相應(yīng)的反場(chǎng)結(jié)合湮滅，回歸虛無。

整個(gè)過程中，我們看到的是五行元素的量沒來由地發(fā)生了改變，這是原本經(jīng)典物理世界中所不可能發(fā)生的，現(xiàn)在卻可能因?yàn)榱孔訚q落而發(fā)生。

甚至于，在既沒有五行場(chǎng)也沒有生克場(chǎng)的情況下，上述過程一樣可以發(fā)生：真空量子漲落中先漲落出了 a 場(chǎng)與負(fù) a 場(chǎng)，然后又漲落出 a 生 b 的生克場(chǎng)及其反場(chǎng)，量量結(jié)合后，將原本為零的無屬性 q 場(chǎng)消耗，憑空創(chuàng)造出了 b 元素后，不發(fā)生改變的 a 場(chǎng)對(duì)與 a 生 b 場(chǎng)對(duì)又回歸虛空消失，我們能看到的是真空中無緣無故出現(xiàn)了 b 元素同時(shí)將 q 元素消耗為負(fù)。

這是量子化之后我們會(huì)看到的原本經(jīng)典物理下所不可能存在的現(xiàn)象，其發(fā)生的概率正比于 g^4。

當(dāng)然，我們也可以選擇完全不遵守規(guī)范場(chǎng)論的框架，而使用別的方式來構(gòu)造描述陰陽五行的場(chǎng)論，比如取作用量為如下形式：

L = M_{i j} \bar \phi^{i} \phi^{j} + D_{i j}^{\mu \nu} \partial_\mu \bar \phi^i \partial_\nu \phi^j\\

它給出的運(yùn)動(dòng)方程為：

\begin{cases} M_{i j} \phi^{j} = \partial_{\mu} D_{i j}^{\mu \nu} \partial_{\nu} \phi^{j} + D_{i j}^{\mu \nu} \partial_\mu \partial_\nu \phi^j\\ M_{j i} \bar \phi^j = \partial_\mu D_{j i}^{\nu \mu} \partial_\nu \bar \phi^j + D_{j i}^{\nu \mu} \partial_\mu \partial_\nu \bar \phi^j \end{cases}

不妨取 D_{i j}^{\mu \nu} 為最常規(guī)的 \delta_{i j} g^{\mu \nu}，這樣方程就變?yōu)椋?/p>

\begin{cases} \partial^{\mu} \partial_{\mu} \phi_i = M_{i j} \phi^j\\ \partial^\mu \partial_\mu \bar \phi_i = M_{j i} \bar \phi^j \end{cases}

和之前一樣，我們令矩陣 M_{i j} = m^2 \delta_{i j} + g A_{i j}，那樣生克關(guān)系一樣可以被表達(dá)出來。

甚至于，我們可以采用標(biāo)量規(guī)范場(chǎng)：

L = m^2 \bar \phi^{i} \phi_{i} + D_{\mu} \phi^{i} \bar D^{\mu} \bar \phi_{i} + M^{2} \bar \theta^{i}_j \theta^j_i + D_\mu \theta^i_j \bar D^\mu \bar \theta^j_i\\ D_\mu \phi^i = \partial_\mu \phi^i + g \partial_\mu \theta^i_j \phi^j

相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程為（\theta_{i j} = \theta^k_j \delta_{i k}）：

\partial_\mu \partial^\mu \phi_i + g \partial_\mu \partial^\mu \theta_{i k} \phi^k = m^2 \phi_i + g \left( \partial_\mu \bar \theta_{j i} - \partial_\mu \theta_{i j} \right) \partial^\mu \phi^j + g^2 \partial_\mu \bar \theta_{j i} \partial_\mu \theta^j_{k} \phi^k

你看，一樣可以讓五行元素產(chǎn)生生克變化。

總之，理論上我們可以選擇作為五行生克的理論模型有非常多，從基礎(chǔ)的理論框架，到一些細(xì)節(jié)，都有很大的自由選擇的空間。

最后，我們還是要再次強(qiáng)調(diào)，上面所做的一切都只是一個(gè) Toy 理論，純粹是為了好玩而作，和實(shí)際物理一點(diǎn)關(guān)系都沒有，我們沒有絲毫證據(jù)可以證明真的存在上述五行場(chǎng)或生克場(chǎng)。

但，如果你要寫小說的話，這里倒是給了你一個(gè)不錯(cuò)的“理論依據(jù)”，你可以以此為基礎(chǔ)來構(gòu)建自己的陰陽五行世界，說不定會(huì)很有趣哦。

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