萬(wàn)有引力客觀題：2012年和2013年的上海卷

2013年上海卷題22B

若兩顆人造地球衛(wèi)星的周期之比為 T_1:T_2=2:1 ，則它們的軌道半徑之比 R_1:R_2=\underline{\mspace{80mu}} ，向心加速度之比a_1:a_2=\underline{\mspace{80mu}} .

2012年上海卷題22B

人造地球衛(wèi)星做半徑為 r，線速度大小為 v 的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)其角速度變?yōu)樵瓉淼?\dfrac{\sqrt{2}}{4} 倍后，運(yùn)動(dòng)半徑為 \underline{\mspace{80mu}}，線速度大小為 \underline{\mspace{80mu}} .

【分析】

衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)公式如下：

a= \omega \cdot v = \omega^2 \cdot R = \dfrac{v^2}{R}=\dfrac{4\pi^2 R}{T^2}

\dfrac{GMm}{R^2} = m \cdot \dfrac{4\pi^2 R}{T^2}

\dfrac{R^3}{T^2}=\dfrac{GM}{4\pi^2}

\dfrac{GMm}{R^2} = m \cdot \dfrac{v^2}{R}

v^2= GM \cdot \dfrac{1}{R}

【解答2013年的客觀題】

R^3 = \dfrac{GM}{4\pi^2} \cdot T^2

(\dfrac{R_1}{R_2})^3 = (\dfrac{T_1}{T_2})^2=4

R_1:R_2= 4^{\frac{1}{3}} : 1

衛(wèi)星僅受萬(wàn)有引力作用，共向心加速度 a=\dfrac{GM}{R^2}

\dfrac{a_1}{a_2}= \dfrac{R^2_2}{R^2_1}=1: 16^{\frac{1}{3}}

結(jié)論：它們的軌道半徑之比 R_1:R_2=4^{\frac{1}{3}} : 1 ，向心加速度之比 a_1:a_2=1: 16^{\frac{1}{3}} .

【解答2012年的客觀題】

角速度變?yōu)樵瓉淼?\dfrac{\sqrt{2}}{4} 倍，則 \omega_2:\omega_1=\dfrac{\sqrt{2}}{4}

T_1:T_2=\dfrac{\sqrt{2}}{4}

T_2:T_1=\dfrac{4}{\sqrt{2}}

(\dfrac{R_2}{R_1})^3 = (\dfrac{T_2}{T_1})^2=8

R_2=2R_1

(\dfrac{v_2}{v_1})^2 = \dfrac{R_1}{R_2}=\dfrac{1}{2}

v_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}v_1

結(jié)論：當(dāng)其角速度變?yōu)樵瓉淼?\dfrac{\sqrt{2}}{4} 倍后，運(yùn)動(dòng)半徑為 2r，線速度大小為 \dfrac{\sqrt{2}}{2}v

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