乘法是所有運(yùn)算中最神奇的一種運(yùn)算。

世界上有很多種乘法。

第一種乘法：便捷的加法

乘法，最早誕生的時(shí)候，是因?yàn)榧臃?。太多相同的?shù)字相加，為了簡便一些，于是，發(fā)明了乘法這種運(yùn)算。

也就是說，最早的乘法是為了計(jì)數(shù)用的。

舉例來說：
有4堆果子，每堆5個(gè)，求一共有幾個(gè)果子？
解答方法是：

讀作“五乘以四” 或“四乘五”

最早，我小學(xué)一年級(jí)的老師就反復(fù)強(qiáng)調(diào)，這個(gè)式子讀“五乘以四”，中間的乘號(hào)要讀作“乘以”，表示次序，5在前面，4在后面，不可交換。

假如把乘號(hào)讀做“乘”，那么，上面的式子應(yīng)該倒過來讀，讀做“四乘五”。

為什么要求那么嚴(yán)格呢？
因?yàn)?5×4 表示 四個(gè)五相加;
而 4×5 表示 五個(gè)四相加。
盡管結(jié)果是相同的，但含義不一樣。所以，不能隨便交換。

后來乘法可以用來計(jì)量。
例如：茶葉蛋每個(gè) 1.5元，買6個(gè)茶葉蛋需要多少錢？
計(jì)算方法是：

1.5元/個(gè) × 6個(gè) = 9元

最早的時(shí)候，計(jì)算量，要求帶單位?！懊俊弊?，被翻譯成了一條分?jǐn)?shù)線，也就是除法。前面除以“個(gè)”字，后面有乘以“個(gè)”字，于是，結(jié)果里就沒有“個(gè)”字，只有“元”。

乘法算式中，前面的數(shù)字是被乘數(shù)，后面的是乘數(shù)。
到目前為止，乘數(shù)一定會(huì)是整數(shù)。

因?yàn)楸怀藬?shù)用來計(jì)量，乘數(shù)用來計(jì)數(shù)。

數(shù)和量的區(qū)別就是：
能計(jì)數(shù)的東西，可以用“個(gè)”做單位，在英文里是“可數(shù)”的，要用many來形容;
計(jì)量的東西，不方便用“個(gè)”做單位，在英文里是“不可數(shù)”的，要用much來形容。

計(jì)數(shù)的東西，一般用整數(shù)，1,2,3等等，一個(gè)一個(gè)數(shù)下去;
計(jì)量的東西，可以用小數(shù)或者分?jǐn)?shù)，1.28公升之類。

所以，最早的乘法，乘數(shù)一定是整數(shù)。因?yàn)槭怯脕碛?jì)數(shù)的。作為加法的簡便算法，乘數(shù)用來計(jì)數(shù)：有多少個(gè)相同的數(shù)量相加。

結(jié)論:最早的時(shí)候

（1）乘法是不可交換次序的

（2）被乘數(shù)可以是小數(shù)，也可以是整數(shù);但乘數(shù)必須是整數(shù)

當(dāng)然，毫無懸念，很多時(shí)候，乘法滿足交換律。

第二種乘法：蘊(yùn)藏著除法的乘法

有了分?jǐn)?shù)，有了比例以后，人們過很久，才認(rèn)識(shí)到，分?jǐn)?shù)可以和小數(shù)轉(zhuǎn)化，分?jǐn)?shù)也可以和除法轉(zhuǎn)化。
舉例來說：
一張餅80元，那么半張就是40元。
最早的算法是 80÷2 = 40
后來發(fā)現(xiàn)，0.5×80 = 80 ×0.5 =40
于是，除以2同乘以0.5的效果一樣。
于是，人們就廣泛的使用交換律，乘數(shù)和被乘數(shù)的區(qū)分也不嚴(yán)格了，乘法可以表示除法。
“除以二”同“乘以二分之一”的意義一樣。

這個(gè)時(shí)候，整數(shù)和分?jǐn)?shù)都可以作為乘數(shù)。
乘法運(yùn)算事實(shí)上進(jìn)行了一次擴(kuò)展，不再是單純的計(jì)數(shù)加法，而是包含了除法（以及分?jǐn)?shù)、小數(shù)、比例）在其中。

第三種乘法:負(fù)數(shù)的乘法

負(fù)數(shù)的乘法，在負(fù)數(shù)出現(xiàn)以前，是沒有定義的。
出現(xiàn)負(fù)數(shù)以后，也只能被乘數(shù)是負(fù)數(shù)。
比如賒帳，每次賒帳 300,賒帳3次，可以寫乘
（-300）×3 = -900
只有被乘數(shù)是負(fù)數(shù)，乘數(shù)必須是正數(shù)。

即使用交換律，參與運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)字，必然還有一個(gè)是正的。

那么，負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)究竟有什么意義呢？“負(fù)負(fù)得正”的規(guī)則又從何而來呢？

這個(gè)最早的時(shí)候，在嘗試了千百次以后，人們發(fā)現(xiàn)，“負(fù)”可以表示方向。假如規(guī)定，往東走是“正”，那么，往西走就是“負(fù)”。

而且，“負(fù)”還可以表示

改變方向

乘以-1,就改變了方向。

把東改成西，再改一次，又回來了。于是，直覺上就規(guī)定“負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)”，結(jié)果是一個(gè)正數(shù)。這個(gè)規(guī)定是公理性質(zhì)的，沒有理由，也沒有原因。但很好用。

“負(fù)負(fù)得正”是硬性的規(guī)定，是所有人認(rèn)可的。沒有理由，沒有原因。

正是這種規(guī)定，導(dǎo)致另一種數(shù)的難產(chǎn)，到后文再討論。

第四種乘法：無理數(shù)的乘法

為何要把這些區(qū)分的如此嚴(yán)格？

因?yàn)?，乘法本質(zhì)上可以看做一個(gè)加工廠，把兩個(gè)數(shù)字加工成一個(gè)數(shù)字。

肉類加工廠一般不加工蔬菜，加工金屬的廠家一般也不加工木料。

類比的，數(shù)，也有很多種類。無理數(shù)就是其中很獨(dú)特的一種，有理數(shù)的乘法怎能隨隨便便就開工了呢？

最早的無理數(shù)就是正方形的對(duì)角線長度?？梢杂贸咦咏频臏y(cè)量，但無法用分?jǐn)?shù)來精確表示。

這樣一批無理數(shù)，來自勾股定理導(dǎo)致的開方運(yùn)算。
乘法導(dǎo)致了乘方，乘方運(yùn)算導(dǎo)致了開方運(yùn)算，所以這樣一批無理數(shù)，天生就適合作為乘數(shù)。因?yàn)椋朔竭\(yùn)算是計(jì)數(shù)乘法運(yùn)算的。

從幾何上講，這個(gè)數(shù)字是由于勾股定理制造出來的。

從代數(shù)上講：
在出現(xiàn)負(fù)數(shù)以后，加法和減法統(tǒng)一了;
在出現(xiàn)分?jǐn)?shù)以后，乘法和除法統(tǒng)一了;
在出現(xiàn)分?jǐn)?shù)冪以后，乘方和開方也統(tǒng)一了。

可以看出來，乘法處于運(yùn)算的核心地位，承上啟下。

另外一批無理數(shù)，太神秘，如圓周率和自然對(duì)數(shù)底之類，暫且不討論。

第五種乘法：階乘以及冪

冪運(yùn)算的次數(shù)，最早都只能是整數(shù)。同被乘數(shù)的道理一樣，是計(jì)數(shù)用的。表示有多少個(gè)一樣的數(shù)字相乘。

后來發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)作為冪指數(shù)正好表示開方;負(fù)數(shù)作為冪指數(shù)正好表示倒數(shù)。

而這些，冪指數(shù)都是有理數(shù)。

在指數(shù)函數(shù)出現(xiàn)以后，無理數(shù)才可能出現(xiàn)在指數(shù)的位置上。無理數(shù)冪指數(shù)作為有理數(shù)冪指數(shù)的極限狀態(tài)而存在。

階乘，是像上樓梯一樣的乘法：

表示從最大的一個(gè)數(shù)，往下乘，乘到1為止。
階乘的增長速度非常快。

按照這個(gè)演示，參與階乘的數(shù)字，總應(yīng)該是整數(shù)了吧。

但是，事實(shí)上，并非如此。

因?yàn)殡A乘也被擴(kuò)展了，成為歐拉的 Γ函數(shù)

在自然數(shù)n作為自變量的情況下，Γ函數(shù)產(chǎn)生n-1的階乘。

把階乘函數(shù)的點(diǎn)畫在坐標(biāo)系上，用光滑的曲線連起來，這曲線的函數(shù)就是Γ函數(shù)了。歐拉完成階乘的插值，所以Γ函數(shù)誕生了。

因此，直觀上看，Γ函數(shù)表示的也是一種乘法，與階乘類似的乘法。

從定義上看，明顯有：

其中，z=1,2,3...
歐拉通過解這個(gè)方程，完成了對(duì)Gamma函數(shù)的插值。

Gamma函數(shù)意味著，階乘，這樣一種獨(dú)特的乘法，能夠操作任意的實(shí)數(shù)。事實(shí)上，同普通乘法一樣，最終擴(kuò)展到了復(fù)數(shù)。