第十一種乘法：卷積
最最平常的乘法，也是一種卷積。
例如，計(jì)算 123×456，可以這樣做：
制作如圖的兩個(gè)滑塊，123豎著往下寫(xiě)，456倒著往上寫(xiě)。
然后，讓456從123的旁邊滑下來(lái)。
每滑動(dòng)一格，都把兩個(gè)數(shù)重疊的部分進(jìn)行點(diǎn)積運(yùn)算，結(jié)果記錄下來(lái)。每次結(jié)果的個(gè)位向后移動(dòng)一位。
當(dāng)滑動(dòng)結(jié)束以后，把那些結(jié)果加起來(lái)，即可。
這種運(yùn)算就是卷積的直觀(guān)展示。
類(lèi)比乘法的卷積方法，可以定義兩個(gè)序列的乘積。讓一個(gè)序列從另一個(gè)序列旁邊滑過(guò)，形成很多的點(diǎn)積，把這些點(diǎn)積加起來(lái)，得到序列積。
序列可以是有限的，也可以是無(wú)限的。
無(wú)限的序列可以有生成函數(shù)，生成函數(shù)，就是類(lèi)似對(duì)等比數(shù)列求和的結(jié)果。用那結(jié)果，就可以生成等比數(shù)列。
序列乘積的時(shí)候，一個(gè)序列可以轉(zhuǎn)化成向量，另外一個(gè)轉(zhuǎn)化為矩陣。用矩陣，意味著乘法不可交換。
卷積常用在傅立葉分析。
第十二種乘法：印度乘法
印度乘法，是指普通的數(shù)字乘法，特別的地方有兩處。
其一是：格子乘法。
格子乘法最早記載在1150年印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅的《麗羅娃提》一書(shū)，后來(lái)傳到阿拉伯，再后來(lái)傳到歐洲，由意大利人傳到中國(guó)，中國(guó)數(shù)學(xué)家程大位給起了個(gè)好聽(tīng)的名字，叫“鋪地錦”。
但中國(guó)人還是習(xí)慣用珠算，用“一口清”來(lái)計(jì)算乘法。
其二是：大九九。
中國(guó)傳統(tǒng)的大九九乘法口訣，只是把普通的小九九擴(kuò)充一倍，例如“三九二十七”成為兩句口訣“三九二七”與“九三二七”。而印度的大九九則更大，要求背誦所有的兩位數(shù)乘以?xún)晌粩?shù)，背誦以后，計(jì)算速度無(wú)疑會(huì)大大提升。
當(dāng)然，背誦是有技巧的。不是單純的死記硬背。例如十幾乘以十幾，方法就是，把乙的個(gè)位數(shù)加在甲的末尾，添零，再加上兩數(shù)個(gè)位與個(gè)位相乘，得結(jié)果。
例如：18×13,（18+3）=21，添零以后是210,個(gè)位乘積是8×3=24，結(jié)果就是210+24=234。
第十三種乘法：俄羅斯農(nóng)民乘法
俄羅斯農(nóng)民的乘法，直觀(guān)思想十分樸素，舉個(gè)特殊例子來(lái)看：
16×17=8×34=4×68=2×136=1×272=272
指導(dǎo)思想就是，不斷的把被乘數(shù)減半，把乘數(shù)加倍，直到被乘數(shù)變?yōu)?,結(jié)果就出來(lái)了。
上面的例子，碰巧被乘數(shù)減半的過(guò)程中，一直是偶數(shù)，如果是奇數(shù)，怎么辦呢？如果是奇數(shù)，就單獨(dú)記錄下那一步的乘數(shù)，把被乘數(shù)減一，繼續(xù)運(yùn)算，在最后，把記錄的結(jié)果加上去即可。
例如：
35×37
=34×37+37
=17×74+37
=16×74+74+37
=8×148+111
=4×296+111
=2×592+111
=1×1184+111
=1295
這種運(yùn)算，表面上看，步驟很多，很笨拙。但正應(yīng)了中國(guó)的古訓(xùn)“大巧若拙”，其實(shí)這種算法，是極其迅速的。尤其到了計(jì)算機(jī)的時(shí)代，到了二進(jìn)制的時(shí)代。
俄羅斯農(nóng)民的算法，可以用極快的速度完成大數(shù)的乘法。所謂大數(shù)，就是幾百位或者幾千位的數(shù)字相乘。
用普通的乘法是很慢的，要做多次的乘法和加法，復(fù)雜程度一般是N的平方;而俄羅斯農(nóng)民算法的復(fù)雜度是N×(log N)。因此，是及其迅速的。并且，計(jì)算機(jī)中，除以2或者乘以2,很多時(shí)候是不需要計(jì)算的，只需要移動(dòng)一位，因?yàn)橛?jì)算機(jī)經(jīng)常使用2進(jìn)制。
俄羅斯農(nóng)民算法可以擴(kuò)展為使用4進(jìn)制，16進(jìn)制都可以，64進(jìn)制等都可。
在大數(shù)乘法中，能比俄羅斯農(nóng)民的乘法更快的算法并不多。
第十四種乘法：用快速傅立葉變換作乘法
離散傅立葉變換，可以用來(lái)計(jì)算乘法。
但如果不是快速傅立葉變換，復(fù)雜度仍然是N的平方。
如果用快速傅立葉變換，就可以超越俄羅斯農(nóng)民算法。
僅僅因?yàn)?，傅立葉變換應(yīng)用太廣泛，人們針對(duì)傅立葉變換，研究了各種快速算法，使得快速傅立葉變換可以達(dá)到N(log N)的復(fù)雜度。
本質(zhì)上講，快速傅立葉變換的速度并沒(méi)有超過(guò)俄羅斯農(nóng)民的算法。僅僅因?yàn)?，它已?jīng)有了各種成熟的庫(kù)，各種優(yōu)化的算法，因此，應(yīng)用更廣泛，就得到更多的優(yōu)化，速度更快了。
如果對(duì)俄羅斯農(nóng)民算法進(jìn)行適當(dāng)?shù)膬?yōu)化，也可以達(dá)到快速傅立葉變換的速度。
日常如果要做大數(shù)乘法，用俄羅斯農(nóng)民算法足矣。如果有更高的要求，可以用GNU的庫(kù)函數(shù)，其中各種算法的實(shí)現(xiàn)都有，尤其是用快速傅立葉變換來(lái)計(jì)算乘法。
大數(shù)的乘法有什么用處呢？一般的，還真沒(méi)什么用處。無(wú)聊的時(shí)候，可以把圓周率計(jì)算個(gè)幾萬(wàn)位，就只有這種用處。
而幾萬(wàn)位的圓周率，本身就沒(méi)有什么用處。50位以?xún)?nèi)的小數(shù)，足夠地球上的天文學(xué)家和物理學(xué)家用了。
大數(shù)乘法的其它用處包括：彰顯科技，比拼電腦的計(jì)算速度，RSA加密，破解RSA加密等。
傅立葉變換怎樣做乘法，以及為什么能做乘法，需要專(zhuān)門(mén)來(lái)討論。
第十五種乘法：利用三角函數(shù)計(jì)算乘法
在沒(méi)有計(jì)算器的年代里，三角函數(shù)專(zhuān)門(mén)有一個(gè)表，叫做三角函數(shù)表。已知角度，可以查詢(xún)?nèi)呛瘮?shù)值。已知三角函數(shù)值，如正弦值，也可以查到角度。
利用這個(gè)表，可以進(jìn)行乘法運(yùn)算。把需要相乘的兩個(gè)數(shù)字，通過(guò)適當(dāng)?shù)囊莆?，變成三角函?shù)可以表示的范圍。然后查到對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角度，用積化和差公式來(lái)計(jì)算。最后，對(duì)結(jié)果重新移位恢復(fù)。
例如，計(jì)算 4766×8848
先變成 0.4766×0.8848，
然后假設(shè)這是兩個(gè)角度的正弦，查表的到兩個(gè)角度：
28.463575度
62.22692度
根據(jù)公式
sinA × sin B = [cos (A-B) - cos(A+B)]/2
需要查計(jì)算：
兩個(gè)角度的差是33.763344度，差表得余弦為 0.83134;
兩個(gè)角度的和是90.6905度，差表得余弦為 -0.01205;
兩者做差，平均以后，為0.421695。
按照這個(gè)結(jié)果，移位，原來(lái)乘積就是 42169500。
實(shí)際上，前面的部分都很精確，只有最后兩位不同。
真實(shí)的結(jié)果是42169568。
在精確程度允許的情況下，足夠了。
關(guān)鍵是，這種方法，只用加減法來(lái)計(jì)算乘法。
第十六種乘法：利用對(duì)數(shù)計(jì)算乘法
對(duì)數(shù)非常神奇，甚至可以說(shuō)吊詭：
（1）對(duì)數(shù)，先于指數(shù)被發(fā)明;
（2）自然對(duì)數(shù)（接近），先于常用對(duì)數(shù)被發(fā)明
對(duì)數(shù)最自然的底，竟然就是自然對(duì)數(shù)底。一開(kāi)始，人們各種嘗試，就使得底非常接近自然對(duì)數(shù)底。
自然對(duì)數(shù)底，無(wú)疑是神秘的，歐拉對(duì)此剖析的最透徹，關(guān)于e的故事，三天三夜也說(shuō)不完。
后來(lái)，有了常用對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)用來(lái)做乘法就更方便了。
外國(guó)人，有一種精神，是我們所沒(méi)有的：在沒(méi)有對(duì)數(shù)表格的情況下，他們可以經(jīng)過(guò)幾代人的努力，來(lái)編制長(zhǎng)長(zhǎng)的表格，做這樣的苦功，枯燥且乏味。然后印刷下來(lái)，供大家使用，世界人民共享勞動(dòng)成果。在有了表格的情況下，他們又嘗試發(fā)明各種儀器，來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算，終于把計(jì)算尺，計(jì)算器和計(jì)算機(jī)搞出來(lái)了，還是大家都能用。這里，既有厚德載物的精神，又有自強(qiáng)不息的精神。
我們，卻還在培養(yǎng)珠心算，用“一口清”這些高端乘法技術(shù)。盡量的，連筆和紙都不使用，來(lái)完成計(jì)算。這些技術(shù)，只能適用于少數(shù)有天賦的兒童，而且要經(jīng)過(guò)辛苦的訓(xùn)練才能掌握。并且，這種技能的傳承非常困難。并且，如果不經(jīng)常使用，很快就會(huì)退化。
有工具，為什么不用呢？人類(lèi)最高超的技能，不就是制造和使用工具嗎？其實(shí)，根本不用擔(dān)心加減乘除的技能退化。
現(xiàn)在，沒(méi)有多少人會(huì)手動(dòng)開(kāi)平方。加減乘除并不比開(kāi)平方重要。所以，就算大多數(shù)人不懂口算，也沒(méi)什么關(guān)系。
能機(jī)械運(yùn)算的，就用機(jī)械運(yùn)算。能查表的，就查表。這樣，才是真正的解放生產(chǎn)力，發(fā)展生產(chǎn)力。
數(shù)學(xué)需要運(yùn)算。但運(yùn)算不是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。
我們常常嘲笑外國(guó)人太笨，但他們才是真正的大智若愚啊！他在菜市場(chǎng)或者超市不會(huì)口算，是因?yàn)樗麄儾恍枰?jì)算，所以不需要會(huì)算。
中國(guó)古人，鄙視會(huì)算術(shù)的人，認(rèn)為這些是屬于底層人民的東西。屬于“奇擠淫巧”一類(lèi)。上層社會(huì)的人完全不懂得算術(shù)。這樣的做法似乎也不妥。
理想的狀態(tài)應(yīng)該是：不同職業(yè)的人都得到應(yīng)有的尊重，有體面的收入。職業(yè)平等，不分高低貴賤。
