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分式

一般地，如果 A, B 是兩個整式，并且 B 中含有字母，那么式子 $\frac{A}{B}$ 叫做分式，其中 A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母(B≠0)

A, B 都是整式
B 中含有字母
B ≠ 0

分式是不同于整式的另一類有理式，分母中含有字母是分式的主要特點：

整式： $\frac{2x + 1}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ (a + b)， $\frac{x + 1}{π}$
分式： $\frac{2x + 1}{3x}$ ， $\frac{x^{2}}{x}$ ， $\frac{a^{2} - 2ab + b^{2}}{a - b}$

分式等于 0，則分子為 0，且分母不為 0

例：分式 $\frac{|x| - 1}{x + 1}$ 值為 0，求 x
解：|x| - 1 = 0，x + 1 ≠ 0
∴ x = 1

分式與分?jǐn)?shù)比較：

分?jǐn)?shù)是數(shù)的運算： $\frac{被除數(shù)}{除數(shù)}$ = 商數(shù)，3 ÷ 5 = $\frac{3}{5}$
分式是式子的運算： $\frac{被除式}{除式}$ = 商式，(m + n) ÷ (m - n) = $\frac{m+n}{m-n}$

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘以或除以一個不為 0 的數(shù)，分?jǐn)?shù)值不變

分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同時乘以或除以一個不為 0 的整式，分式值不變
$\frac{A}{B}$ = $\frac{AC}{BC}$ ，其中 A B C 是整式，C ≠ 0

分式的約分：把分式分子、分母的公因式約去，這種變形叫做分式的約分

如果分式的分子和分母都是多項式，應(yīng)該先分解因式，再約分
約分的結(jié)果必須是最簡分式

最簡分式：分子和分母沒有公因式的分式，也就是沒有辦法再約分的分式

分式的通分：把各分式化成與原分式相等的同分母的分式，叫做通分

通分時先要找出各個分式的最簡公分母
取各分母的所有因式的最高次冪的乘積作公分母，它叫做最簡公分母

分式的乘法法則：分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母
$\frac{a}$ · $\frac{c}u0z1t8os$ = $\frac{ac}{bd}$

分式的除法法則：除以一個式子，等于乘以這個式子的倒數(shù)
$\frac{a}$ ÷ $\frac{c}u0z1t8os$ = $\frac{a}$ × $\fracu0z1t8os{c}$ = $\frac{ad}{bc}$

同分母分式相加減，分母不變，分子相加減
$\frac{a}$ ± $\frac{c}$ = $\frac{a±c}$

異分母分式相加減，先通分成同分母分式，再加減
$\frac{a}$ ± $\frac{c}u0z1t8os$ = $\frac{ad}{bd}$ ± $\frac{bc}{bd}$ = $\frac{ad ± bc}{bd}$

練習(xí)題：

例1：計算 $\frac{a^{2} - 4a + 4}{a^{2} - 2a + 1}$ · $\frac{a - 1}{a^{2} - 4}$

解：原式 = $\frac{(a - 2)^{2}}{(a - 1)^{2}}$ · $\frac{a - 1}{(a + 2)(a - 2)}$
= $\frac{a - 2}{(a + 2)(a - 1)}$

注意：

把分子和分母的多項式進行因式分解，方便分式的約分
最后的結(jié)果需要寫成最簡分式

例2：計算 $\frac{1}{49 - m^{2}}$ ÷ $\frac{1}{m^{2} - 7m}$

解：原式 = - $\frac{1}{m^{2} - 49}$ · $\frac{m^{2} - 7m}{1}$
= - $\frac{m(m - 7)}{(m + 7)(m - 7)}$
= - $\frac{m}{m + 7}$

例3：計算 ( $\frac{x}{2y}$ )² · $\frac{y}{x}$

解：原式 = $\frac{x^{2}}{4y^{2}}$ · $\frac{y}{x}$
= $\frac{x}{4y}$

例4：計算 $\frac{2a}{a^{2} - 4}$ - $\frac{1}{a - 2}$

解：原式 = $\frac{2a}{(a + 2)(a - 2)}$ - $\frac{1}{a - 2}$
= $\frac{2a}{(a + 2)(a - 2)}$ - $\frac{a + 2}{(a + 2)(a - 2)}$
= $\frac{2a - a - 2}{(a + 2)(a - 2)}$
= $\frac{a - 2}{(a + 2)(a - 2)}$
= $\frac{1}{a + 2}$

例5：計算 $\frac{1}{a - 1}$ + $\frac{2}{1 - a^{2}}$

解：原式 = $\frac{1}{a - 1}$ - $\frac{2}{a^{2} - 1}$
= $\frac{1}{a - 1}$ - $\frac{2}{(a + 1)(a - 1)}$
= $\frac{a + 1}{(a + 1)(a - 1)}$ - $\frac{2}{(a + 1)(a - 1)}$
= $\frac{a - 1}{(a + 1)(a - 1)}$
= $\frac{1}{a + 1}$