共軛空間和共軛算子

對(duì)稱是自然界中非常重要的幾何性質(zhì)。線性代數(shù)中可以看到對(duì)稱矩陣有著很好的性質(zhì)。

這一章研究：

  1. 內(nèi)積空間（賦范空間）中的對(duì)稱性；
  2. 線性算子的對(duì)稱算子（或者說共軛算子和自共軛算子）

Hahn-Banach定理

由上一章的知識(shí)，我們可以知道在賦范線性空間(X , \| \cdot \|)上可以定義許多不同的線性泛函。

以下定理說明在賦范線性空間(X , \| \cdot \|)上可以定義“足夠多”的線性泛函。

定理1（復(fù)的Hahn-Banach定理）：設(shè)X是一個(gè)復(fù)的賦范空間，G是X的子空間，f是G上的有界線性泛函，則f可以保持范數(shù)不變地延拓到全空間X上，即存在X上的有界線性泛函F，使得

  1. 對(duì)于\forall x \in G, F(x) = f(x);
  2. \| F \| = \| f \|_G

其中\| f \|_G表示f作為G上的有界線性泛函的范數(shù)。

簡單證明，首先在實(shí)的賦范空間中考慮：
設(shè)G \ne X，任取x_1 \in X且x_1 \notin G，用G_1表示由x_1和G張成的線性子空間，即
G_1 = \left\{ {x + \alpha x_1 | x \in G, \alpha \in \mathbb{R}} \right\}

在G_1上定義：
f_1(x + \alpha x_1 ) = f(x) +\alpha \beta \ (x \in G, \alpha \in \mathbb{R})

其中\beta是適當(dāng)選擇的實(shí)數(shù)，且滿足：
\mathop {\sup }\limits_{x \in G} \left\{ {f\left( x \right) - {{\left\| f \right\|}_G}\left\| {x - {x_1}} \right\|} \right\} \leqslant \beta \leqslant \mathop {\inf }\limits_{x \in G} \left\{ {{{\left\| f \right\|}_G}\left\| {x + {x_1}} \right\| - f\left( x \right)} \right\}

該條件在證明保范性時(shí)用到，由此也可看出\beta的取值在一個(gè)范圍內(nèi)，因此延拓的線性泛函不唯一。

容易驗(yàn)證f_1是G_1上的線性泛函，這樣就把f延拓成了G_1上的線性泛函。

可以用Zorn引理證明，f可以保范地延拓到全空間X上，即上面的過程可以一直進(jìn)行下去。

在復(fù)的賦范空間，我們令
f\left( x \right) = \varphi \left( x \right) + i\psi \left( x \right) ,\ (x \in G)

其中\varphi, \psi分別表示f的實(shí)部和虛部，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=f(ix)%20%3D%20if(x)" alt="f(ix) = if(x)" mathimg="1">，可以得到
\varphi (ix) + i \psi(ix) = f(ix)= if(x) = i\varphi (x) - \psi(x)

所以復(fù)的線性泛函的實(shí)部和虛部滿足關(guān)系：
\varphi (ix) = - \psi (x)

把X看作是實(shí)的賦范空間，則由Hahn-Banach定理，\varphi可以保范地延拓成X上的實(shí)線性泛函\varphi_0，令
F(x) = \varphi_0(x) - i\varphi_0(ix), \ (x \in X)

則F就是滿足定理要求在全空間上定義的線性泛函。

事實(shí)上，對(duì)于\forall x \in X，
F(ix) = \varphi_0(ix) - i\varphi_0(-x) = i( \varphi_0(x) - i\varphi_0(ix)) = iF(x)

由此可推出F是X上的復(fù)的線性泛函，F是f的延拓。

注：線性泛函的延拓不是惟一的，

推論1：設(shè)X是一個(gè)賦范空間，對(duì)于\forall x_1, x_2 \in X, x_1 \ne x_2，則存在線性泛函f，使得\| f\| =1，且
f(x_1) \ne f(x_2)

注：這說明有足夠多的線性泛函可把空間中任何兩個(gè)不同的元素區(qū)分開來。

推論2：設(shè)X是一個(gè)賦范空間，如果對(duì)于X的任何有界線性泛函f都有
f(x_0) = 0

則x_0 = 0。

注：這是判斷x = 0的一個(gè)重要手段。

推論3：設(shè)G是賦范空間X的子空間，x_0 \in X，若
d =d(x_0, G) = \mathop {\inf }\limits_{x \in G} \left\| {x - {x_0}} \right\| > 0

則存在X上的有界線性泛函f，
\left\| f \right\| = \frac{1}u0z1t8os;f\left( {{x_0}} \right) = 1;f\left( x \right) = 0,\forall x \in G

注：這是一種分離的性質(zhì)，可以用線性泛函f把x_0和G分開。

超平面和支撐

對(duì)于三維空間上的線性泛函f(x),
f(x) = ax +by +cz

集合\left\{ { (x,y,z) | f(x) = k} \right\}是三維空間中的一個(gè)平面。一般地可以定義：

定義7：設(shè)X是賦范空間，f是X上的線性泛函，稱
L^k_f = \left\{ { x \in X| f(x) = k} \right\}

是X中的超平面。

設(shè)\Omega \subset X，如果對(duì)于任何的x \in \Omega，有f(x) \leqslant k或f(x) \geqslant k，則稱\Omega位于L^k_f的一側(cè)。

進(jìn)一步，如果還有x_0 \in \Omega \cap L^k_f，則稱超平面L^k_f在x_0處支撐著\Omega，x_0稱為支撐向量（Support Vectors）。

共軛空間

上一節(jié)說明了一個(gè)賦范空間X上有“足夠多”的線性泛函。

X上的全體線性泛函組成了一個(gè)新的賦范空間，這個(gè)空間從另一個(gè)側(cè)面反映了賦范空間X的許多本質(zhì)性質(zhì)。

共軛空間的概念

定義1：設(shè)X是賦范空間，記
X^* = \mathcal{B}(X, \mathbb{K})

稱X^*為X的共軛空間。

注1：X的共軛空間X^*是X上全體有界線性泛函構(gòu)成的賦范空間。

注2：由于\mathbb{K}是完備的，X^*是Banach空間，這不要求X是Banach空間。

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