回顧

數(shù)學(xué)主要研究的對象是函數(shù)、運(yùn)算。

在這之前，我們關(guān)注的空間基本上是函數(shù)空間 $x(t)$ 或數(shù)列 $x_n$ 組成的空間，并建立了距離空間、賦范空間、內(nèi)積空間、Hilbert空間的概念。

運(yùn)用了類比、聯(lián)想、歸納等數(shù)學(xué)研究方法，把有限維空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)和幾何特征延伸、拓展到無窮維空間。

線性算子

許多數(shù)學(xué)問題，如：中學(xué)解析幾何中的平移和旋轉(zhuǎn)就是一些線性變換（運(yùn)算）。

高等數(shù)學(xué)研究的微分、積分也都是線性運(yùn)算，它們與 ${\mathbb{R}}^n$ 空間中的線性變換（向量的旋轉(zhuǎn)、拉伸、平移等）有很多相同的運(yùn)算性質(zhì)。

線性方程組、微分方程、積分方程都可以看作是特定空間中的線性運(yùn)算（或者稱為線性變換或線性映射）。

我們把這些稱之為線性算子，線性算子是泛函分析中最重要的基本概念之一。我們將全體有界線性算子（如積分、矩陣等）看作一個線性空間，并賦予范數(shù)，成為賦范線性空間，線性算子看作賦范空間中的元素。

線性算子空間是線性泛函分析研究的主要對象。在線性算子空間的框架下，研究線性運(yùn)算的性質(zhì)，解決分析、代數(shù)、幾何中的問題。

在賦范空間中討論有界線性算子的本質(zhì)特征，可以得到一些很深刻的結(jié)論：

一致有界原則；
開映射定理、逆算子定理；
閉圖像定理。

有界線性算子與有界線性泛函

有界線性算子與有界線性泛函的定義

滿足性質(zhì) $T(\alpha x + \beta y) = \alpha Tx + \beta Ty$ 的運(yùn)算 $T$ 稱為線性算子。因此微分運(yùn)算、積分運(yùn)算都是線性算子。

定義1：設(shè) $X$ ， $X_1$ 是賦范空間， $\mathcal{D}\left( T \right) \subset X$ 是線性子空間， $T$ 是從 $\mathcal{D}(T)$ 到 $X_1$ 的映射，滿足：
$T(x + y) = Tx + Ty,$

$T(\alpha x) = \alpha Tx,$

其中， $x,y \in \mathcal{D}(T), \alpha \in \mathbb{K}$ （ $\mathbb{K}$ 是數(shù)域），則稱映射 $T$ 是從 $X$ 到 $X_1$ 的線性算子。 $\mathcal{D}(T)$ 稱為 $T$ 的定義域。

注1： 一般地， $\mathcal{D}(T)$ 是 $X$ 的真子集，如果 $\mathcal{D}(T)= X$ ，則稱 $T$ 是從 $X$ 上到 $X_1$ 的線性算子。

注2：若 $X_1 = \mathbb{K}$ （數(shù)）， $T:\mathcal{D}(T) \to \mathbb{K}$ 。這樣的線性算子稱為是線性泛函。

即線性泛函 $T$ （或 $f$ ）是從賦范空間 $X$ 到數(shù)域 $\mathbb{K}$ 的線性算子。

注3：從信號與系統(tǒng)的角度， $X$ 空間其實(shí)就是系統(tǒng)的輸入空間（輸入信號）， $X_1$ 空間就是系統(tǒng)的輸出空間（輸出信號）或者變換（作用）后的空間；線性算子就是一個線性系統(tǒng)。

定義2：設(shè) $T$ 是從 $X$ 到 $X_1$ 的線性算子，若存在常數(shù) $M>0$ ，使得
${\left\| {Tx} \right\|_1} \leqslant M\left\| x \right\|,\forall x \in X$

則稱 $T$ 為有界線性算子。

如果一個線性泛函 $f$ 是有界的，如果存在常數(shù) $M>0$ ，使得
${| {f(x)} |} \leqslant M\left\| x \right\|,\forall x \in X$

則稱 $f$ 為有界線性泛函。因?yàn)榉汉吵梢粋€數(shù)，所以一個數(shù)的范數(shù)用絕對值表示。

注1：有界線性算子的有界是指映射后“放大的倍數(shù)”不超過一個常數(shù)。（元素的大小用范數(shù)衡量）

注2：由于內(nèi)積可以產(chǎn)生范數(shù)，內(nèi)積空間也是賦范空間，因此，有關(guān)賦范空間上的有界線性算子、有界線性泛函的討論在內(nèi)積空間依然成立。

注3：有界線性算子把有界集映成有界集（有界輸入，有界輸出）。

定義4：設(shè) $X$ ， $X_1$ 是賦范空間， $T$ 是從 $X$ 到 $X_1$ 的線性算子，若 $x_n \to x_0$ 時， $Tx_n \to Tx_0$ ，則稱 $T$ 在 $x_0$ 點(diǎn)連續(xù)。

定理5：設(shè) $X$ ， $X_1$ 是賦范空間， $T$ 是從 $X$ 到 $X_1$ 的線性算子， $T:X \to X_1$ 。如果 $T$ 在 $x_0$ 點(diǎn)連續(xù)，則 $T$ 在 $X$ 上連續(xù)。

注1：對于線性算子來說，一點(diǎn)連續(xù)意味著點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)。

注2：線性算子 $T$ 連續(xù)意味著：
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } T\left( {{x_n}} \right) = T\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n}} \right)$

極限運(yùn)算和線性算子 $T$ 作用可以交換順序。

定理6：設(shè) $X$ ， $X_1$ 是賦范空間， $T$ 是從 $X$ 到 $X_1$ 的線性算子，則 $T$ 是連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng) $T$ 是有界的。

有界線性算子組成的賦范空間

下面我們把有界線性算子看作一個元素，構(gòu)成一個新的線性空間，即由全體有界線性算子（如積分運(yùn)算、矩陣運(yùn)算）構(gòu)成的空間。

從賦范空間的角度研究線性算子的性質(zhì)。

定義7：設(shè) $X$ ， $X_1$ 是賦范空間， $\mathcal{B}(X, X_1)$ 表示從 $X$ 到 $X_1$ 的全體有界線性算子。

如果 $X= X_1$ ，我們把 $\mathcal{B}(X, X_1)$ 簡記為 $\mathcal{B}(X)$ 。

在 $\mathcal{B}(X, X_1)$ 中可以自然地定義線性運(yùn)算（加法、數(shù)乘），對于任給的 $A, B \in \mathcal{B}(X, X_1)$ 及 $\alpha \in \mathbb{K}$ ，定義：
$(A+B)(x) = Ax + Bx$

$(\alpha A)(x) = \alpha Ax$

由于 $\mathcal{B}(X, X_1)$ 對加法、數(shù)乘運(yùn)算封閉，因此成為線性空間。

下面我們把有界線性算子看成空間中的元素，在空間中定義有界線性算子的范數(shù)

定義8：設(shè) $T$ 是從賦范空間 $X$ 到 $X_1$ 的有界線性算子，即存在 $M>0$ ，使得
$\left\| {Tx} \right\| \leqslant M\left\| x \right\|,\forall x \in X$

令
$\left\| T \right\| = \mathop {\sup }\limits_{\mathop {x \in X}\limits_{x \ne 0} } \frac{{\left\| {Tx} \right\|}}{{\left\| x \right\|}}$

$\left\| T \right\|$ 稱為線性算子 $T$ 的范數(shù)。

定理10：設(shè) $T$ 是從賦范空間 $X$ 到 $X_1$ 的有界線性算子，則:
$\left\| T \right\| = \mathop {\sup }\limits_{\left\| x \right\| = 1} \left\| {Tx} \right\| = \mathop {\sup }\limits_{\left\| x \right\| \leqslant 1} \left\| {Tx} \right\|$

特別地，當(dāng) $A,B \in \mathcal{B}(X)$ ，還可以定義乘法運(yùn)算（記為 $AB$ ）：
$(A \cdot B)(x) = A(Bx)$

顯然 $AB$ 也是線性算子，并且：
$\left\| {AB} \right\| \leqslant \left\| A \right\|\left\| B \right\|$

進(jìn)一步有：
$\left\| {{A^n}} \right\| \leqslant {\left\| A \right\|^n}$

定理11：設(shè) $a = (a_1, a_2 , \cdots , a_n) \in \mathbb{R}^n$ 。對于任意的 $x = (x_1, x_2, \cdots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ ，定義：
$f(x) = \sum _{i=1}^{n} a_ix_i$

則 $f$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的有界線性泛函。

注： $\mathbb{R}^n$ 上的任何有界線性泛函一定可以寫成上述形式， $f (x) = (a,x)$ ，即 $\mathbb{R}^n$ 上的有界線性泛函 $f$ 可以由 $\mathbb{R}^n$ 中的元素 $a$ 確定。

下面給出無窮維空間上的有界線性泛函

定理12： 設(shè) $y_0(t)$ 是 $[a,b]$ 上的連續(xù)函數(shù)，對于任意的 $x \in C[a,b]$ ，定義：
$f(x ) \triangleq \int _a^b{x(t)y_0(t)} dt$

則 $f$ 是 $C[a,b]$ 上的有界線性泛函。

注1：可以證明線性泛函的范數(shù) $\|{f}\| = \int _a^b|y_0(t)|dt$ 。

注2：特別地，若 $y_0(t) \equiv 1$ ，定積分 $f(x) = \int _a^b x(t)dt$ 是 $C[a,b]$ 上的有界線性泛函。

注3：不是所有的線性算子都是有界的，例如十分重要的微分算子就是一類無界算子。如，對 $\sin nt \in C[0,1]$ 求微分，我們有：
$T(\sin{nt}) = n \cos{nt}, \;\; \|x_n\| = 1$

但是， $\| Tx_n \| = n \to \infty (n \to \infty)$ ，即 $T$ 是無界的。

注：微分算子是一類十分重要的無界線性算子。微分算子雖然無界，但它是閉的線性算子。閉的線性算子也有“類似連續(xù)”的很好的性質(zhì)。

有界線性算子空間的收斂性與完備性

有界線性算子空間中的收斂性

由算子的范數(shù) $\| \cdot \|$ 可以誘導(dǎo)出算子的距離：
$d(A_1, A_2) = \| A_1 - A_2 \|,\;\; \forall A_1, A_2 \in \mathcal{B}(X, X_1)$

因此， $\mathcal{B}(X, X_1)$ 也是一個距離空間（在空間中定義了元素距離結(jié)構(gòu)），有了距離可以討論空間中元素列的收斂性，接著就可以討論空間完備性。

顯然在 $\mathcal{B}(X, X_1)$ 中可以討論算子列按范數(shù)的收斂性。

定義1：設(shè) $A_n, A \in \mathcal{B}(X, X_1)$ ，若
$\| A_n - A\| \to 0 \;\;(n \to \infty)$

則稱有界線性算子列 $\{A_n \}$ 按范數(shù)收斂到有界線性算子 $A$ 。

定理2：空間 $\mathcal{B}(X, X_1)$ 中線性算子列 $\{A_n \}$ 按范數(shù)收斂等價于線性算子列在 $X$ 中的單位球面 $S$ 上一致收斂（收斂速度與 $x$ 取值無關(guān)， $x \in X$ ）。

一致收斂直觀解釋， $\| A_n x - Ax \| \to 0$ ，使 $\| \cdot \|$ 最大的 $x$ 點(diǎn)都收斂了，那么其它的點(diǎn)必然收斂，這是由算子范數(shù)定義決定的，算子范數(shù)取的是對 $x$ 所放大的最大的倍數(shù)（算子 $T$ 對不同 $x$ 取值放大倍數(shù)不同）。

進(jìn)一步，算子列 $\{A_n \}$ 按范數(shù)收斂等價于在有界集上一致收斂。

在數(shù)學(xué)分析中，函數(shù)的收斂有逐點(diǎn)收斂、一致收斂，根據(jù)研究問題不同使用不同的收斂性。在泛函分析中，同樣可以根據(jù)研究問題不同，考慮不同收斂性。

線性算子在空間 $\mathcal{B}(X, X_1)$ 中，除了按范數(shù)收斂（或稱一致收斂），還可以定義其它收斂方式。

定義3：設(shè) $T_n, T \in \mathcal{B}(X, X_1) (n = 1,2, \cdots )$ 。如果對于 $\forall x \in X, T_n x \to Tx$ $( n \to \infty)$ ，即
$\| T_n x- Tx \| \to 0 \;\;\;(n \to \infty)$

則稱 $\{T_n \}$ 逐點(diǎn)收斂到 $T$ （不同 $x$ 收斂速度可能不同），或稱 $\{T_n \}$ 強(qiáng)收斂到 $T$ 。

注： $\{T_n \}$ 按范數(shù)收斂到 $T$ （一致收斂）可推出 $\{T_n \}$ 強(qiáng)收斂到 $T$ ，反之不成立。

有界線性算子空間的完備性

有界線性算子組成的空間是一個賦范空間，于是可以討論它的完備性。

一個賦范空間是完備的（ $Banach$ 空間）當(dāng)且僅當(dāng)空間中的 $Cauchy$ 列一定收斂。

定理5：設(shè) $X$ 是賦范空間， $X_1$ 是 $Banach$ 空間，則有界線性算子空間 $\mathcal{B}(X, X_1)$ 是 $Banach$ 空間（完備的賦范空間）。

一致有界原則

我們把線性算子抽象成線性算子空間中的元素。抽象的目的是為了使我們能更清楚地看到線性算子的一些本質(zhì)特征。

在線性算子空間的框架下，研究線性運(yùn)算的性質(zhì)，將得到一些深刻的結(jié)論，例如：一致有界原則，開映像定理，逆算子定理，閉圖像定理。這三個定理和 $Hahn-Banach$ 定理（線性泛函的延拓定理）可以看作是賦范空間中線性算子理論的基石。

這三個定理刻畫了 $Banach$ 空間中線性算子的重要性質(zhì)。

$Baire$ 綱定理

定義1：設(shè) $(X,d)$ 是距離空間， $E \subset X$ 。如果 $E$ 不在 $X$ 的任何非空開集中稠密，則稱 $E$ 是疏集。

稠密的定義： $A,B$ 是距離空間 $X$ 中的點(diǎn)集，如果 $\bar B \supset A$ ，則稱 $B$ 在 $A$ 中稠密。

注：疏集 $E$ 中沒有內(nèi)點(diǎn)。事實(shí)上，若 $x \in E$ 是內(nèi)點(diǎn)，則存在一個開球 $S(x,r) \subset E$ ，那么 $E$ 在開球 $S(x,r)$ 中稠密。

定義2：若集合 $E$ 可表示成至多可數(shù)個疏集的并，即
$E = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {{E_n}}$

其中， $E_n$ 是疏集 $(n=1,2, \cdots)$ ，則稱 $E$ 是第一綱集。不是第一綱集的集合稱為第二綱集。

定理3（ $Baire$ 綱定理）：完備的距離空間是第二綱集。

推論： $Banach$ 空間是第二綱集。

一致有界原則

對于有界線性算子，可以得到：一族點(diǎn)點(diǎn)有界的有界線性算子必定一致有界。

定理7（ $Banach-Steinhaus$ 一致有界原則）：
設(shè) $\{ T_\alpha | \alpha \in I\}$ 是 $Banach$ 空間 $X$ 上到賦范空間 $X_1$ 中的有界線性算子族。如果對于 $\forall x \in X$ ，有
$\mathop {\sup }\limits_\alpha \left\| {{T_\alpha }x} \right\| < \infty$

則 $\left\{ {\left\| {{T_\alpha }} \right\|\left| {\alpha \in I} \right.} \right\}$ 是有界集。其中 $\alpha$ 屬于一個指標(biāo)集。

注1：“一致”指的就是對所有的 $x \in X$ 都成立。

注2：定理表明，若對任意的 $\forall x \in X$ ，存在 $M_x > 0$ ，使得
$\left\| {{T_\alpha }x} \right\| \leqslant \mathop {\sup }\limits_\alpha \left\| {{T_\alpha }x} \right\| = {M_x} < \infty$

則存在一個共同的 $M$ ，使得
$\left\| {{T_\alpha }} \right\| \leqslant M,\forall \alpha \in I$

該定理的逆否命題：如果 $\left\{ {{T_\alpha }\left| {\alpha \in I} \right.} \right\}$ 是 $Banach$ 空間 $X$ 上到賦范空間 $X_1$ 中的有界線性算子族， $\mathop {\sup }\limits_\alpha \left\| {{T_\alpha }} \right\| = \infty$ ，則存在 $x \in X$ ，使得
$\mathop {\sup }\limits_\alpha \left\| {{T_\alpha }x} \right\| = \infty$

該命題稱為共鳴定理。

強(qiáng)收斂意義下的完備性

由上節(jié)定理5可知，如果 $X$ 是賦范空間， $X_1$ 是 $Banach$ 空間，則有界線性算子空間 $\mathcal{B}(X, X_1)$ 是 $Banach$ 空間。即空間中任何 $Cauchy$ 列都按算子的范數(shù)收斂（即當(dāng) $n \to \infty$ ，算子范數(shù) $\| T_n - T \| \to 0$ ）。

下面考慮在強(qiáng)收斂意義下的完備性即空間中任何 $Cauchy$ 列逐點(diǎn)收斂。

定理12：設(shè) $X,X_1$ 是 $Banach$ 空間，則 $\mathcal{B}(X, X_1)$ 在強(qiáng)收斂意義下完備。

注：完備的含義：

$T_n \in \mathcal{B}(X, X_1),$
若 $\forall x \in X, \{ T_nx\}$ 是 $X_1$ 中的 $Cauchy$ 列，則存在 $T \in \mathcal{B}(X, X_1)$ ， ${T_n}\mathop \to \limits^{Strong} T\left( {n \to \infty } \right)$ ，即
$\forall x \in X, {T_nx}\mathop \to Tx\left( {n \to \infty } \right)$

注： $T_n x$ 就是第 $n$ 次迭代后算子（模型）的輸出。 ${T_nx}\mathop \to Tx , T_n \to T$ 。

開映射定理與逆算子定理

逆算子

若對任給的 $y \in \mathcal{R}(T)$ （ $\mathcal{R}(T)$ 表示映射 $T$ 的值域），只有唯一的 $x \in X$ ，使得 $y = Tx$ ，則稱映射 $T$ 是單射。這時可定義從值域 $\mathcal{R}(T)$ 到 $X$ 的算子 $T^{-1}$ ，并稱 $T^{-1}$ 為 $T$ 的逆算子。

眾多數(shù)學(xué)問題，都可歸結(jié)為求方程 $Tx = y$ 的解，即考慮 $T^{-1}$ 是否存在、是否唯一以及 $T^{-1}$ 是否連續(xù)（算子連續(xù)可保證解的穩(wěn)定性）。

定義1（逆算子）：設(shè) $T$ 是從線性空間 $X$ 到線性空間 $X_1$ 中的線性算子。如果存在 $X_1$ 到 $X$ 中的線性算子 $T_1$ ，使得
$T_1Tx = x (x \in \mathcal{D}(T) \subseteq X)$

$TT_1y = y (y \in \mathcal{R}(T) \subseteq X_1)$

則稱算子 $T$ 有逆算子， $T_1$ 為 $T$ 的逆算子，記為 $T^{-1}$ 。

注1： $T$ 存在逆算子的充要條件是： $T$ 是空間 $X$ 中到空間 $X_1$ 中的一對一映射。

注2：如果 $T^{-1}$ 存在，則 $T^{-1}$ 是唯一的。

注3：可以證明 $T^{-1}$ 也是線性算子。

注4： $(T^{-1})^{-1} = T$ 。

定理2：設(shè) $T$ 是從賦范空間 $X$ 到賦范空間 $X_1$ 中的線性算子。如果存在 $m > 0$ ，使得
$\left\| {Tx} \right\| \geqslant m\left\| x \right\|\left( {x \in \mathcal{D}\left( T \right)} \right)$

則 $T$ 存在有界的逆算子 $T_1$ 。

注1： $T^{-1}$ 是從 $\mathcal{R}(T)$ 到 $\mathcal{D}(T)$ 的映射， $\mathcal{R}(T)$ 不一定是全空間 $X_1$ ， $\mathcal{D}(T)$ 也不一定是全空間 $X$ 。

注2：這里并未要求 $T$ 有界，只要求 $T$ 下方有界即可。

開映射定理

定義3：設(shè) $T$ 是 $X \to X_1$ 的一個映射，若 $T$ 把 $X$ 中的任何一個開集映成 $X_1$ 中的開集，則稱 $T$ 是開映射。

定理4（開映射定理）：設(shè) $T$ 是定義在 $Banach$ 空間 $X$ 上到 $Banach$ 空間 $X_1$ 上的有界線性算子，則 $T$ 是開映射。

注1：定理要求的條件是： $\mathcal{D}(T)=X，\mathcal{R}(T)=X_1,TX = X_1$

注2：定理表明：當(dāng) $T$ 是有界線性算子時，若 $TX = X_1$ ， $X ， X_1$ 都是 $Banach$ 空間，則對開集 $G,TG$ 一定也是開集。

注3：注意 $T$ 是開映射與 $T$ 是連續(xù)的區(qū)別。
$T$ 是開映射： $T$ 把一個開集映成開集。
$T$ 連續(xù) $\Leftrightarrow$ 開集的原像是開的，即 $G \subset X_1,G$ 是開集 $\Rightarrow T^{-1}(G)$ 是開集。

注4：如果線性算子 $T$ 是開映射，且 $T$ 的逆算子存在，則 $T$ 的逆算子 $T^{-1}$ 是連續(xù)的，也即 $T^{-1}$ 是有界線性算子。

逆算子定理

定理5（ $Banach$ 逆算子定理）：設(shè) $T$ 是定義在 $Banach$ 空間 $X$ 上到 $Banach$ 空間 $X_1$ 上一對一的有界線性算子，則 $T$ 的逆算子存在，且 $T^{-1}$ 是有界的。

注： $TX = X_1,X$ 是 $Banach$ 空間， $X_1$ 是 $Banach$ 空間或第二綱集這些條件不能少。

例如： $X = X_1 = C[0,1]$ ，
$Tx = \int_0^t {x\left( s \right)ds} , \ x(s) \in C[0,1]$

注意到 $TX \ne X_1$ ，經(jīng)變上限積分算子映過去以后不再是一個 $Banach$ 空間，因此推不出 $T^{-1}$ 有界。

事實(shí)上，
$TX = M =\left\{ {y \in C^1[0,1] | \;\;y(0) = 0}\right\}$

$M$ 是 $C[0,1]$ 中的疏集（一階可導(dǎo)函數(shù)的全體），不是第二綱集。

$T^{-1}$ 事實(shí)上是一個微分算子，是無界線性算子（微分運(yùn)算不連續(xù)，會存在間斷點(diǎn)）。

閉算子與閉圖像定理

閉線性算子是一類非常重要的線性算子，它有與連續(xù)線性算子“相近”的性質(zhì)（極限可以跟算子交換順序），微分算子就是一類閉線性算子。

閉算子的定義

定義1：設(shè) $X, X_1$ 是賦范空間， $T$ 是從 $X$ 中到 $X_1$ 中的線性算子，考慮乘積空間
$X\times X_1 = \left\{ {(x,y) | \;\;x \in X, y\in X_1 }\right\}$

在該空間上定義范數(shù)：
對于任意的 $z = (x,y) \in X \times X_1$ ，令
$\left\| z \right\| = \left\| {\left( {x,y} \right)} \right\| = \left\| x \right\| + {\left\| y \right\|_1}$

若 $X, X_1$ 是 $Banach$ 空間，則 $X \times X_1$ 也是 $Banach$ 空間。令
$G(T) = \left\{ {(x, Tx) \in X \times X_1 | x \in \mathcal{D}(T)} \right\}$

稱集合 $G(T)$ 為算子 $T$ 的圖像（很多時候這個圖像是畫不出來的）。

定義2：如果 $G(T)$ 在乘積賦范空間 $X \times X_1$ 是閉的，則稱 $T$ 是閉算子。

定理3：（閉算子的等價條件）設(shè) $X, X_1$ 是賦范空間， $T$ 是從 $X$ 到 $X_1$ 中的線性算子，則 $T$ 是閉算子當(dāng)且僅當(dāng)對 $\forall \{x_n\} \subset \mathcal{D}(T), x_n \to x \in X,$ 及 $Tx_n \to y \in X_1$ ，必有 $x \in \mathcal{D}(T), \ y = Tx$ 。

注1：由上述定理，顯然定義在全空間上的有界（連續(xù)）線性算子一定是閉線性算子。

注2：對于閉線性算子來說，在上述條件下，極限運(yùn)算可以和算子交換順序。

閉圖像定理

定理4：（閉圖像定理）設(shè) $T$ 是 $Banach$ 空間 $X$ 上到 $Banach$ 空間 $X_1$ 中（不一定要映滿全空間）的閉線性算子，則 $T$ 是有界線性算子。

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有界線性算子

有界線性算子

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$Baire$ 綱定理