函數(shù)與導(dǎo)數(shù)客觀題：新高考數(shù)學(xué)全國卷題12

新高考數(shù)學(xué)全國卷題12

過平面內(nèi)一點(diǎn) P 作曲線 y= |\ln x| 的兩條互相垂直的切線 l_1,l_2, 切點(diǎn)為 P_1,P_2 （ P_1,P_2 不重合），設(shè)直線 l_1,l_2 分別與 y 軸交于點(diǎn) A,B ，則下列結(jié)論正確的是

A. P_1,P_2 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值

B. 直線 P_1P_2 的斜率為定值;

C. 線段 AB 的長度為定值

D. 三角形 \triangle ABP 面積的取值范圍為 (0,1]

【解析】

y= |\ln x| 是一個分段函數(shù)：

x \in (0,1), y = - \ln x, \;y'= - \dfrac{1}{x};

x \in (1,+\infty), y = \ln x,\; y'=\dfrac{1}{x};

不妨設(shè) P_1,P_2 分別為 l_1,l_2 上的切點(diǎn)，記切點(diǎn)坐標(biāo)為 P_1(x_1, -\ln x_1), \; P_2(x_2, \ln x_2);

∵ 兩條切線互相垂直， ∴ - \dfrac{1}{x_1} \cdot \dfrac{1}{x_2} = -1,

x_1 x_2 =1

所以，選項 A 正確；

∵ x_1 x_2 =1,

∴ -\ln x_1 = \ln x_2,

∴ 直線 P_1P_2 的斜率為 0,

選項 B 正確；

曲線 y= |\ln x| 有一個特殊點(diǎn) (1,0), 若 x_1=x_2， 則 P_1,P_2, P 三點(diǎn)重合，相應(yīng)的，k_1=-1, k_2=1;

此時，|AB|=2, \triangle PAB 是等腰直角三角形，且 S_{\triangle PAB} = 1.

當(dāng) P_1,P_2 不重合時有：0 \lt x_1 \lt 1 \lt x_2

切線 l_1 的方程為 y=-\dfrac{1}{x_1}(x-x_1) - \ln x_1,

切線 l_2 的方程為 y=-\dfrac{1}{x_1}(x-x_2) - \ln x_2,

y_{_A}=1-\ln x_1,

y_{_B}=-1+\ln x_2,

|y_{_A} - y_{_B} | = 2.

∴ 選項 C 正確；

x_1 與 x_2 互為倒數(shù)，x_1 \rightarrow0, x_2 \rightarrow +\infty,

x_2 不斷增大，則切線 l_2 的傾角趨近于 0;

切線 l_2 與 y 軸的夾角趨近于 90°，

記此夾角為 \beta, 則 S_{\triangle PAB} = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \sin\beta\cdot 2\cos\beta=\sin2\beta

所以，x_1 \rightarrow0, x_2 \rightarrow +\infty,\; S_{\triangle PAB}\rightarrow 0,

選項 D 正確.

結(jié)論：ABCD 都是正確選項.

【提煉與提高】

難度不高，工作量加大。

數(shù)形結(jié)合，要求考生靈活處理。

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