解析幾何客觀題：2022年新高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷題11

2022年新高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷題11

已知拋物線 C:y^2=4x 的焦點(diǎn)為 F，點(diǎn) P 在拋物線 C上，A(-\dfrac{5}{4},0), 若 \triangle PAF 為等腰三角形，則直線 AP 的斜率可能為

A.\dfrac{4\sqrt{2}}{7} \quad B.\dfrac{2\sqrt{5}}{5} \quad C.\dfrac{\sqrt{2}}{2}\quad D.-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}

【分析】

拋物線 C 的焦距 p=2, 焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F(1,0).

|AF|=\dfrac{9}{4}

線段 AF 的垂直平分線為 x= - \dfrac{1}{8}; 因此，PA=PF 不可能成立；

我們需要考慮的是另外兩種可能性：FA=FP, PA=PF.

在開(kāi)始計(jì)算前，需要估算一下計(jì)算量，選擇一條較為經(jīng)濟(jì)的解答路線.

就本題而言，有兩條路線可選：一是把根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)的斜率寫(xiě)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算線段長(zhǎng)度，作出判斷；二是根據(jù)兩條邊相等這一條件，求出點(diǎn) P 坐標(biāo), 然后計(jì)算出斜率.

初步估算，第二條解題路線的計(jì)算量會(huì)小一些.

【解答】

設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (t,u), 因?yàn)樵擖c(diǎn)在拋物線上，所以 u^2=4t;

若 FP=FA, 則 |FP|^2=|FA|^2=(\dfrac{9}{4})^2,

(t-1)^2+4t=(\dfrac{9}{4})^2

(t+1)^2=(\dfrac{9}{4})^2

t_1=\dfrac{5}{4}, t_2=-\dfrac{13}{4} （舍棄）,

點(diǎn) P 坐標(biāo)為 (\dfrac{5}{4}, \pm \sqrt{5}), 相應(yīng)的 AP 斜率為 \pm \dfrac{2\sqrt{5}}{5}.

選項(xiàng)B正確.

若 AP=FA, 則 |AP|^2=|FA|^2=(\dfrac{9}{4})^2,

(t+\dfrac{5}{4})^2+4t=(\dfrac{9}{4})^2

解得：t_1=\dfrac{1}{2}, t_2=-7 （舍棄）

點(diǎn) P 坐標(biāo)為 (\dfrac{1}{2}, \pm \sqrt{2}), 相應(yīng)的 AP 斜率為 \pm \dfrac{4\sqrt{2}}{7}.

選項(xiàng)A正確.

結(jié)論：正確選項(xiàng)是：AB.

【提煉與提高】

本題涉及解析幾何中一些核心和常見(jiàn)的問(wèn)題：求交點(diǎn)的坐標(biāo)；求直線的斜率；

兩線段長(zhǎng)度相等，也是常見(jiàn)的條件.

總之，這是一個(gè)常規(guī)的解析幾何考題，難度中等. 因?yàn)橛袃蓚€(gè)選項(xiàng)，要考慮兩種情況，計(jì)算量略大.

從大方向來(lái)說(shuō)，在高考數(shù)學(xué)中減少單選題，增加多項(xiàng)題和填空題，是一種趨勢(shì).

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