什么是HMM
假設(shè)我手里有三個不同的骰子。第一個骰子是我們平常見的骰子（稱這個骰子為D6），6個面，每個面（1，2，3，4，5，6）出現(xiàn)的概率是1/6。第二個骰子是個四面體（稱這個骰子為D4），每個面（1，2，3，4）出現(xiàn)的概率是1/4。第三個骰子有八個面（稱這個骰子為D8），每個面（1，2，3，4，5，6，7，8）出現(xiàn)的概率是1/8。
假設(shè)我們開始擲骰子，我們先從三個骰子里挑一個，挑到每一個骰子的概率都是1/3。然后我們擲骰子，得到一個數(shù)字，1，2，3，4，5，6，7，8中的一個。不停的重復(fù)上述過程，我們會得到一串?dāng)?shù)字，每個數(shù)字都是1，2，3，4，5，6，7，8中的一個。例如我們可能得到這么一串?dāng)?shù)字（擲骰子10次）：1 6 3 5 2 7 3 5 2 4這串?dāng)?shù)字叫做可見狀態(tài)鏈。但是在隱馬爾可夫模型中，我們不僅僅有這么一串可見狀態(tài)鏈，還有一串隱含狀態(tài)鏈。在這個例子里，這串隱含狀態(tài)鏈就是你用的骰子的序列。比如，隱含狀態(tài)鏈有可能是：D6 D8 D8 D6 D4 D8 D6 D6 D4 D8。
一般來說，HMM中說到的隱馬爾可夫鏈其實(shí)是指隱含狀態(tài)鏈。隱含狀態(tài)（骰子）之間存在轉(zhuǎn)換概率（transition probability），可見狀態(tài)之間沒有轉(zhuǎn)換概率，但是隱含狀態(tài)和可見狀態(tài)之間有一個概率叫做輸出概率（emission probability）。就我們的例子來說，六面骰（D6）產(chǎn)生1的輸出概率是1/6。產(chǎn)生2，3，4，5，6的概率也都是1/6。
其實(shí)對于我們上述的HMM來說，如果提前知道所有隱含狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換概率和所有隱含狀態(tài)到所有可見狀態(tài)之間的輸出概率，做模擬是相當(dāng)容易的。但是應(yīng)用HMM模型時候呢，往往是缺失了一部分信息的，有時候你知道骰子有幾種，每種骰子是什么，但是不知道擲出來的骰子序列；有時候你只是看到了很多次擲骰子的結(jié)果，剩下的什么都不知道。如果應(yīng)用算法去估計這些缺失的信息，就成了一個很重要的問題。這些算法我會在下面詳細(xì)講。
和HMM模型相關(guān)的算法主要分為三類，分別解決三種問題：
1）知道骰子有幾種（隱含狀態(tài)數(shù)量），每種骰子是什么（轉(zhuǎn)換概率），根據(jù)擲骰子擲出的結(jié)果（可見狀態(tài)鏈），我想知道每次擲出來的都是哪種骰子（隱含狀態(tài)鏈）。
這個問題呢，在語音識別領(lǐng)域呢，叫做解碼問題。這個問題其實(shí)有兩種解法，會給出兩個不同的答案。每個答案都對，只不過這些答案的意義不一樣。這里只給出第一種解法。這種解法叫做求最大似然狀態(tài)路徑，說通俗點(diǎn)呢，就是我求一串骰子序列，這串骰子序列產(chǎn)生觀測結(jié)果的概率最大。
2）還是知道骰子有幾種（隱含狀態(tài)數(shù)量），每種骰子是什么（轉(zhuǎn)換概率），根據(jù)擲骰子擲出的結(jié)果（可見狀態(tài)鏈），我想知道擲出這個結(jié)果的概率。
看似這個問題意義不大，因?yàn)槟銛S出來的結(jié)果很多時候都對應(yīng)了一個比較大的概率。問這個問題的目的呢，其實(shí)是檢測觀察到的結(jié)果和已知的模型是否吻合。如果很多次結(jié)果都對應(yīng)了比較小的概率，那么就說明我們已知的模型很有可能是錯的，有人偷偷把我們的骰子給換了。
3）知道骰子有幾種（隱含狀態(tài)數(shù)量），不知道每種骰子是什么（轉(zhuǎn)換概率），觀測到很多次擲骰子的結(jié)果（可見狀態(tài)鏈），我想調(diào)節(jié)每種骰子是什么（轉(zhuǎn)換概率）來讓出現(xiàn)這種結(jié)果的概率最大。
這個問題很重要，因?yàn)檫@是最常見的情況。很多時候我們只有可見結(jié)果，不知道HMM模型里的參數(shù)，我們需要從可見結(jié)果得到出這些參數(shù)，使這個模型是一個最優(yōu)的模型，這是建模的一個必要步驟。
正式定義
好了直觀的理解完成了，我們來給出音隱馬爾可夫模型的基本定義
我們將上述直觀的理解抽象表達(dá)一下：
- 基本元素
隱馬爾可夫模型可以用5個基本元素來描述，包括兩個狀態(tài)集和三個狀態(tài)矩陣
1）隱含狀態(tài)S
例如S = [S1, S2, S3]
2）可觀測狀態(tài)集O
例如O = [O1, O2, O3, O4, O5]
（注意：隱含狀態(tài)集S不一定需要和可觀測狀態(tài)集O的數(shù)目一致）
3）初始狀態(tài)概率矩陣π
表示隱含狀態(tài)S在初始狀態(tài)時的概率矩陣，例如π = [P(S1), P(S2), P(S3)] = [P1, P2, P3]
4）隱含狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣A
表示各個隱含狀態(tài)之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，aij表達(dá)t時刻為Si的狀態(tài)，在t+1時刻變換為Sj的概率。
隱含狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣
5）觀測狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣B
觀測狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣
令N表示隱含狀態(tài)數(shù)目，M表示可觀測狀態(tài)數(shù)目，則
Bij = P(Oi | Sj)，1<=i<=N, 1<=j<=M
表示著在t時刻，隱含狀態(tài)為Sj的情況下，可觀察狀態(tài)為Oi的概率，也就是我們上述的輸出概率。
總結(jié)：一般來說，我們可以使用一個三元組來表示隱馬爾可夫模型
λ = (π, A, B)
一旦確定了這個隱馬爾可夫模型，我們就可以使用它來解決各種各樣的問題了。根據(jù)上述說法，我們知道隱馬爾可夫模型可以解決的問題有三類，前兩類實(shí)際上是一個模式識別問題：解碼和評估，后一類是模型學(xué)習(xí)問題。
相關(guān)算法
- viterbi算法
- 前向算法
- EM
如何使用隱馬爾可夫模型進(jìn)行和弦識別
《Chord Segmentation and Recognition using EM-Trained Hidden Markov Models》這篇論文中，使用每個和弦對應(yīng)一個隱藏狀態(tài)（隱藏狀態(tài)數(shù)量已知），每一幀的PCP譜圖作為可見狀態(tài)（可見狀態(tài)鏈），我們采用EM算法訓(xùn)練模型。在得到HMM之后之后，我們就可以采用viterbi方法求出概率最大的隱藏序列（最大似然路徑），并對齊到每個時間幀上。最后，闡述一種基于旋轉(zhuǎn)PCP的加權(quán)平均算法來處理原始的PCP，這種方法計算所有音級的加權(quán)平均值（通過標(biāo)注和弦出現(xiàn)的頻率進(jìn)行加權(quán)），然后將加權(quán)平均PCP向量解旋回到它們的原始位置，并為每個和弦構(gòu)建新的，正則化的模型的位置。
之后《A System for Acoustic Chord Transcription and Key Extrac- tion from Audio Using Hidden Markov Models Trained on Synthe- sized Audio》和《Acoustic Chord Transcription and Key Extraction from Audio Using Key-Dependent HMMs Trained on Synthesized Audio》這兩篇論文根據(jù)和弦的基音區(qū)分方法，定義 24 個基音，為每個基音建立一個 HMM，構(gòu)造 Key-Dependent HMM 模型. 對于輸入的音樂信號，系統(tǒng)利用 Viterbi 解碼在 24 個模型中選擇一個最大可能的基調(diào)模型，從而確定輸入音樂的基調(diào)，并從對應(yīng)于這個基調(diào)模型的最優(yōu)狀態(tài)路徑來得到和弦序列.
搬運(yùn)：https://www.zhihu.com/question/20962240/answer/33438846
