在基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)的學(xué)習(xí)了，拓?fù)淇臻g和連續(xù)映射。但是給定兩個(gè)連續(xù)映射，在這兩個(gè)映射間還存在同倫，允許從一個(gè)函數(shù)變化到另一個(gè)函數(shù)。對(duì)于范疇和函子，也存在類似的場(chǎng)景。也就是函子到函子的變換。

考慮范疇A，B之間的兩個(gè)函子F，G，一個(gè)從函子F到G的自然變換是一個(gè)由A中對(duì)象索引的B中的態(tài)射的類。并且滿足上面的交換圖。

看起來(lái)，就是對(duì)象A在范疇B中的兩個(gè)像ＦＡ，ＧＡ之間的映射，并且箭頭的兩個(gè)像也是對(duì)應(yīng)的。

對(duì)于自然變換，很明顯具有復(fù)合運(yùn)算，和恒等態(tài)射。于是，又有人粗心的認(rèn)為函子和自然映射可以構(gòu)成一個(gè)新的范疇。于是要強(qiáng)調(diào)一下，范疇定義中要求任意兩個(gè)對(duì)象間的態(tài)射構(gòu)成一個(gè)集合，而任意兩個(gè)范疇之間的函子往往是一個(gè)類，所以函子間的自然變換就也是一個(gè)類。所以一般是不成立的。

當(dāng)Ａ是一個(gè)小范疇，Ｂ是任意范疇，那么Ａ，Ｂ間的函子和函子間的自然變換構(gòu)成一個(gè)范疇，當(dāng)Ｂ是小范疇時(shí)，這個(gè)新范疇也是小范疇。

下面是第一個(gè)重要的定理

米田引理：

考慮由任意范疇Ａ指向集合范疇的函子Ｆ，范疇A中的一個(gè)對(duì)象，以及對(duì)象A對(duì)應(yīng)的可表函子。于是存在一個(gè)雙射，由A的可表函子到函子F的自然變換，對(duì)應(yīng)到函子F所確定的集合FA的元素。

這個(gè)雙射就構(gòu)成了關(guān)于變量A的自然映射，當(dāng)A是小范疇時(shí)，這個(gè)雙射也構(gòu)成了關(guān)于變量F的自然變換。

證明有點(diǎn)長(zhǎng)，等會(huì)看看。

在前面我們采用了自然變換第一種復(fù)合律，實(shí)際上還有另一種復(fù)合律。

這種自然變換的復(fù)合將復(fù)合函子變換到復(fù)合函子，是一種并列的方式。姑且稱為Ｇ積。

兩種復(fù)合的交錯(cuò)情形。

出于節(jié)省篇幅使用，

就到這里了，證明還要在看一下。篇幅多，內(nèi)容不多。