給定一個范疇，經(jīng)常使用的構造新范疇的手段是范疇中的圖。

a.固定范疇C中的一個對象I，對于I上的箭頭可以定義新范疇C/I：

對象是以對象I為值域的所有箭頭，也就是所有指向I的箭頭。這里其實有些不清楚的地方，一個對象就是一個態(tài)射，由A到I之間有許多個態(tài)射，也就是有許多個對象。

態(tài)射是滿足上面的交換圖的箭頭，其中f，g是對象，h是f，g之間的態(tài)射，即滿足的態(tài)射h。

復合運算就是基礎范疇C中的復合。

值得注意的是，當限制范疇C為集合范疇時，范疇C/I的對象就可以等同為集合I索引的集族，因為首先f是一個映射，滿足單值性，所以I的逆象必定包含集合A，有的i對應一個a，有的對于多個，有的沒有對應，所以總結(jié)為，每個I中的元素對應于A元素所成的空集，單點集，多點集，整體上就是I索引了一個集族。

于是范疇C/I就是I索引的集合族以及映射族。

感覺有點難理解啊，尤其是映射的映射。映射族大概是集族到集族的映射吧。

b.對應的有范疇I/C，對象為所有由I發(fā)出的箭頭，其他的類比可得。就是把上一個例子的箭頭方向反過來了。

箭頭范疇Ar（C），以C中所有箭頭為對象，以箭頭序?qū)ψ鳛閼B(tài)射，并滿足上面的交換圖，復合運算是按照分量定義的，就像向量一樣，互不干擾。

當基礎范疇C是小范疇時，上面構造的三個范疇都是小范疇。

下面是函子的一些例子：

a.遺忘函子，將復雜的結(jié)構消解掉，變?yōu)楹唵蔚慕Y(jié)構，這個很容易理解，因為復雜的結(jié)構可以視為簡單結(jié)構的特例，往往要滿足一些更加苛刻的條件，將這些限制條件去掉就行了。比如，群是滿足群公理的集合，遺忘函子就將群公理遺忘掉，只剩下集合的結(jié)構。

b.如果R是交換環(huán)，記為R模和R線性映射所成范疇，與R作張量積就產(chǎn)生了一個函子，，從交換群范疇到R模范疇。

這個其實就是向量空間的構造方法，向量空間是特殊的R模。

交換群被映射為新的群，并且具有新運算標量乘法。群同態(tài)被映射為R線性映射。

c.冪集函子，由集合范疇到集合范疇，將集合映射為其冪集，將集合間的映射映射為冪集間的映射。這是怎么映射的呢？？

d.可表函子，函子由對象C所表達。將對象映射為態(tài)射集合，將態(tài)射映射為態(tài)射。

e.給出兩個范疇A，B和B中一個對象B，定義對象Ｂ的常值函子，任意Ａ中的對象，映射到對象Ｂ，任意Ａ中的態(tài)射，映射到B的恒等態(tài)射。這就像常值函數(shù)一樣，只對應一個特定的點。僅僅是因為函子要求兩個對應，所以多出來一個映射對應。

這一節(jié)總算是看完了，這一次的例子更多的是一種數(shù)學構造，所以顯得極為抽象，看不懂也是必然，雖然之前補過一些基礎，但是還是很難理解。只能抽象的去把握，學習急不得，尤其是陌生的東西，必須要花費大量的時間來熟悉，熟悉之后才談的上去理解。