集合上的每一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)都有這樣的映射：與該結(jié)構(gòu)相容的映射，或者說是保持這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的映射。比如，群之間有群同態(tài)，向量空間之間有線性映射，拓?fù)淇臻g之間有連續(xù)映射。

于是，這些共性引出了新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，范疇，它包含帶有預(yù)先定義的結(jié)構(gòu)的集合，姑且稱為結(jié)構(gòu)集，還有這些結(jié)構(gòu)集之間的保持這種結(jié)構(gòu)的映射。

準(zhǔn)確定義，一個(gè)范疇C包括

1.一個(gè)類C，這個(gè)類中的元素稱為范疇中的對(duì)象

2.對(duì)于每一對(duì)對(duì)象，有一個(gè)集合C（A，B），集合中的元素稱為由A到B的態(tài)射，或者箭頭

3.對(duì)于每三個(gè)對(duì)象，復(fù)合律成立

4.對(duì)于每個(gè)對(duì)象，都有一個(gè)恒等態(tài)射

這些數(shù)據(jù)服從下面的公理

1.結(jié)合公理：

2.恒等公理：

態(tài)射f記作，A稱為定義域，B稱之為值域（這里的值域與函數(shù)的值域含義不同，只是出于習(xí)慣使用，這里稱為域，對(duì)偶域比較合適，co-前綴表達(dá)的就是對(duì)偶的含義）

交換圖，一個(gè)圖稱之為交換的，等價(jià)于從同一起點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)同一終點(diǎn)的所有箭頭的復(fù)合是相等的。比如上圖，從A到D有兩條路，交換時(shí)就成立。其他的交換圖類比可得。

恒等態(tài)射是唯一的，熟悉的唯一性證明。

范疇A到范疇B的函子F包括

1.范疇A，B對(duì)象之間的映射，記作

2.范疇A中任意一對(duì)對(duì)象之間態(tài)射的映射，記作

函子滿足或者說保持復(fù)合律，恒等態(tài)射

先到這吧，內(nèi)容有點(diǎn)多。為什么這樣定義函子，因?yàn)榉懂犽m然新，但還是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，同樣適用于結(jié)構(gòu)集和結(jié)構(gòu)保持映射那一套。函子的性質(zhì)其實(shí)就是對(duì)范疇公理的保持，與群同態(tài)對(duì)群公理的保持沒有什么區(qū)別。