在以前的文章中，我們已經(jīng)分別介紹了 Arruda-Boyce, neo-Hookean，Mooney-Rivlin，Yeoh，Gent, Blatz-Ko等幾種常用于非線性有限元分析的超彈模型。今天要介紹一個特殊且廣泛適用的超彈模型：Ogden。一個非常通用，可以用于橡膠，大分子材料，和生物組織的超彈模型。Ogden模型已經(jīng)被成功地應用于O 形圈、密封圈和其他工業(yè)產(chǎn)品的分析。而它的最大特殊性在于理論算法上采用了主拉伸作為基準變量，而不是常見的應變張量不變量。和Mooney-Rivlin等其他超彈模型一樣，Ogden是以人姓氏命名的超彈模型，用以感謝Ogden博士在此超彈模型上作出的貢獻。
1972年，在英格蘭東安吉拉大學（University of East Anglia）做研究員的Ogden博士，在著名的Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences期刊上，發(fā)表一篇名為Large Deformation Isotropic Elasticity: On the Correlation of Theory and Experiment for Compressible Rubberlike Solids文章，長篇描述了Ogden模型，以及和其他超彈模型的數(shù)學與實驗基礎。全文條理清晰，行文流暢，讀起來也令人賞心悅目。Ogden放棄了應變能函數(shù)是主伸長率的偶函數(shù)的假設，認為采用不變量來描寫應變能函數(shù)是不必要的復雜化，他直接用伸長率作為自變量來表達應變能函數(shù)，并給出了實驗和理論模型的對比。由于可壓縮Ogden模型和不可壓縮Ogden模型具有非常相似的特性，本文就只介紹不可壓縮Ogden模型，可壓縮模型會在以后的文章中加以介紹。WELSIM已經(jīng)支持了Ogden不可壓縮模型。
1943年，Raymond William Ogden出生于還在經(jīng)歷二戰(zhàn)的英國。1967-1970年在英國劍橋大學攻讀博士學位，師從力學界著名的Rodney Hill教授，博士論文題為彈塑性材料的本構(gòu)關系（On Constitutive Relations for Elastic and Plastic Materials）。1970年博士畢業(yè)后，在英格蘭東安吉拉大學從事研究員工作。從1984年開始，Ogden在Glasgow大學的數(shù)學與統(tǒng)計學系任教授。學習非線性彈性力學的朋友們一定都有收藏他的經(jīng)典名著Nonlinear Elastic Deformations吧。2006年Ogden入選英國皇家學會會士（Royal Society Follow）。和Rivlin，Gent等他的前輩們不同的是，這位英國出生的力學家并沒有移民美國，而是一直在英國的大學從事研究與教育工作。
Ogden模型的應變能勢函數(shù)
Ogden模型的應變能勢函數(shù)是基于左手柯西格林應變（left Cauchy-Green strain）張量的主伸長率（principal stretches）的，有如下形式：
其中，N為模型的階數(shù)，通常N取1-3之間的數(shù)。u_i和a_i為材料常數(shù)，其中u_i單位是壓力，a_i是無綱量，無單位。D_i為不可壓縮參數(shù)用于表示體積變化?？s減主伸長率具有如下關系
從此應變函數(shù)中我們可以知道：
1. 模型以應變張量的三個方向上的主伸長率λ1、λ2和λ3為變量。
2. 初始剪切模量為u=sum(u_i*a_i)/2。初始體積模量為K=2/D_1。
3. 當N=1, a1=2時，轉(zhuǎn)化為neo-Hookean模型。
4. 當N=2, a1=2, a2=-2時，轉(zhuǎn)化為2參數(shù)Mooney-Rivlin模型。
5. 由于主伸長率是應變張量特征值的平方根，算法上需要計算3x3應變矩陣的特征值來獲得材料剛度矩陣和應力。
6. 輸入材料常數(shù)需滿足u_i*a_i>0，以保證算法穩(wěn)定性。
Ogden模型的優(yōu)點與限制
通用。可以廣泛應用于各類型的超彈本構(gòu)關系。在橡膠的整個應變范圍內(nèi)部具有較好的模擬能力。
適合處理大應變問題。當N=3或更高時，可達到所需要的精度要求。Ogden模型在應變高達700%時還能夠很好的擬合試驗數(shù)據(jù)。
適合描述非定常剪切模量和輕微壓縮的材料行為。
能夠描述應變后期剛度急劇上升的狀態(tài)。
不同的實驗類型所確定的材料參數(shù)無法用于其他變形工況模擬。在實驗數(shù)據(jù)不足的情況下不建議使用，如只有單軸拉伸實驗結(jié)果。
含有三階Ogden材料模型的有限元分析
定義材料
選用Ogden 超彈材料，并輸入?yún)?shù)u1=0.69 MPa, a1=1.3, u2=0.01 MPa, a2=4.0, u3=-0.0122, a3=-2, D1=0.1 MPa^-1，D2=0.1 MPa^-1，D3=0.1 MPa^-1。
導入橡膠幾何體，劃分網(wǎng)格，并在側(cè)面施加5e-3 MPa正壓力。
求解，并添加位移結(jié)果節(jié)點，顯示云圖和時間歷程最大最小值。如圖所示，Z方向變形隨時間變化表現(xiàn)出非線性。
事實上，從實際有限元分析的角度出發(fā)，只要模型能用合理的擬合系數(shù)較精確地表達橡膠材料的力學特性，應變能函數(shù)不管用應變不變量還是主伸長率來表示都顯得不那么重要。模型的選擇，主要是根據(jù)系數(shù)擬合的難易程度以及非線性收斂效率來決定了。
最后附上操作視頻，供大家參考。
