最近看了一個(gè)有意思的視頻。這個(gè)視頻通過一個(gè)游戲的博弈論模型，測算出股市中莊家賺錢的概率問題。我把這個(gè)視頻中的方法整理成文字，希望能對(duì)大家有所啟發(fā)。
首先，我們要弄明白數(shù)學(xué)期望的概念。
數(shù)學(xué)期望是一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)的概念，是指試驗(yàn)中每次可能結(jié)果的概率乘以其結(jié)果的總和。它發(fā)映隨機(jī)變量平均取值的大小。需要注意的是，期望值并不一定包含于變量的輸出值集合里。并且，大數(shù)定律規(guī)定，隨著重復(fù)次數(shù)接近無窮大，數(shù)值的算術(shù)平均值幾乎肯定地收斂于期望值。
上面這段話聽起來有些拗口。我們來舉個(gè)例子說明一下。
咱們都玩過擲篩子的游戲。每擲一次篩子，1到6六個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的概率是一樣的，都是1/6。
那么，擲篩子這個(gè)游戲的數(shù)學(xué)期望就是1*1/6+2*1/6+………6*1/6=3.5。3.5這個(gè)數(shù)值就是這個(gè)游戲變量輸出值的平均數(shù)，它并不包含在變量的輸出值集合里，即不包含在1到6這六個(gè)數(shù)字里。
此外，如果把擲篩子這個(gè)動(dòng)作重復(fù)許多次，次數(shù)接近于無窮大，那么這個(gè)游戲輸出的數(shù)值的算術(shù)平均值（即把每次擲篩子的數(shù)值相加后的結(jié)果除以擲篩子的次數(shù)），將無限接近于3.5這個(gè)數(shù)值。
下面進(jìn)入正題。
先說一下這個(gè)叫做“美女與男人”的游戲是怎么玩的。
有一天，一個(gè)男人在酒吧里獨(dú)自喝酒。這時(shí)一位美女向他走過來，對(duì)他說，咱們來玩一個(gè)游戲吧？男人滿口答應(yīng)，問怎么玩？美女說，咱們現(xiàn)在每個(gè)人拿一個(gè)硬幣在手里，咱們兩個(gè)人把硬幣出一面，你出一面，我出一面。如果這兩個(gè)硬幣都是正面，那我就給你3塊錢，如果這兩個(gè)硬幣都是反面，那我就給你1塊錢，如果這兩個(gè)硬幣一正一反，那么你給我2塊錢。
男人在心里測算了一下，假設(shè)每一枚硬幣出現(xiàn)正面或反面的概率都是1/2，因此，雙正面出現(xiàn)的概率是1/4，雙反面出現(xiàn)的概率是1/4，一正一反出現(xiàn)的概率是1/2。那么，男人玩一把這個(gè)游戲所獲得的收益的數(shù)學(xué)期望是3*1/4+1*1/4﹣2*1/2=0。
男人在心里想，數(shù)學(xué)期望是0，說明這個(gè)游戲規(guī)則設(shè)計(jì)得很公平，而且還能和美女聊天，值得一玩。于是男人和美女進(jìn)入了游戲環(huán)節(jié)。
可是玩了很長一段時(shí)間以后（注意這里的“很長時(shí)間”，后面會(huì)做出解釋），男人發(fā)現(xiàn)自己雖然有時(shí)能夠贏錢，但最后所贏到的錢還是全輸給了美女連自己帶的錢也都搭了進(jìn)去。
看似一個(gè)公平的游戲，為什么輸錢的總是男人呢？
為了向男人解釋他的疑問，我們先來把這個(gè)游戲表格化，這樣表述起來更清楚。
假設(shè)男人出正面的概率是x，男人出反面的概率則是1﹣x。女人出正面的概率是y，出反面的概率則是1﹣y。男人玩一把游戲獲得的收益的數(shù)學(xué)期望為E。
那么，E=3xy+1*(1-x)(1-y)-2*[x(1-y)+y(1-x)]=8xy-3x-3y+1=（8x-3)y-3x+1。x,y∈[0,1]。
我們知道，大數(shù)定律規(guī)定，隨著重復(fù)次數(shù)接近無窮大，數(shù)值的算術(shù)平均值幾乎肯定地收斂于期望值。如果E是負(fù)的，那么也就說明，男人的總體收益是負(fù)的。
這也解釋了上面那個(gè)“很長時(shí)間”的用意。只有重復(fù)次數(shù)接近無窮大，男人收益數(shù)值的算術(shù)平均值（即把每次收益的數(shù)值相加后的結(jié)果除以玩游戲的次數(shù)），才能無限接近于一個(gè)負(fù)數(shù)。
女人在想，有沒有一種可能，可以以某一個(gè)y出正面，不論男人的x是多大，E總是負(fù)的呢？
下面我們來測算一下是否存在這樣的y，不論男人的x是多大，使得E總是負(fù)的。
下面是推算過程：
一、
E=（8x-3)y-3x+1<0? ------>（8x-3)y<3x-1
假設(shè)8x-3>0
那么,（8x-3)y<3x-1------>y<（3x-1）/（8x-3)? ? ?
z=（3x-1）/（8x-3) 是個(gè)減函數(shù)，即x越大，Z就越小。（減函數(shù)的這一特性可以通過畫出這個(gè)函數(shù)的坐標(biāo)圖直觀地表現(xiàn)出來）
如果要滿足y<（3x-1）/（8x-3)，只需要滿足y小于z的最小值即可。
Z什么時(shí)候達(dá)到最小呢？
答案是x最大的時(shí)候。當(dāng)x=1是，z取得最小值2/5。
因此，當(dāng)男人的正面概率x大于3/8時(shí)，女人的正面概率小于2/5，E就一定為負(fù)數(shù)。
二、
E=（8x-3)y-3x+1<0? ------>（8x-3)y<3x-1
假設(shè)8x-3<0,
那么,（8x-3)y<3x-1------>y>（3x-1）/（8x-3)? ? ?
z=（3x-1）/（8x-3) 是個(gè)減函數(shù)，即x越大，Z就越小。
如果要滿足y>（3x-1）/（8x-3)，只需要滿足y大于z的最大值即可。
Z什么時(shí)候達(dá)到最大呢？
答案是x最小的時(shí)候。當(dāng)x=0是，z取得最大值1/3。
因此，當(dāng)男人的正面概率x小于3/8時(shí)，女人的正面概率大于1/3，E就一定為負(fù)數(shù)。
我們發(fā)現(xiàn)，這兩種情況是有重復(fù)的，即當(dāng)2/5>y>1/3時(shí)，不論男人出正面的概率有多大，E一定是負(fù)數(shù)，男人一定是總體上是輸錢的。
換句話說，只要這個(gè)游戲玩的次數(shù)足夠多，而且女人把自己出正面的概率控制在(1/3,2/5)這個(gè)區(qū)間內(nèi)，那么男人總體上一定是賠錢的，女人總體上一定是賺錢的。
這個(gè)游戲和股市有什么關(guān)系呢？
女人代表了股市里的莊家，她可以拉升股價(jià)（出正面），也可以打壓股價(jià)（出反面），而男人代表了股市里的散戶，他可以做多（出正面），也可以做空（出反面）。
當(dāng)莊家做空（出反面），散戶也跟著做空（出反面）時(shí)，散戶是賺錢的。當(dāng)莊家做多（出正面），散戶也跟著做空多（出正面）時(shí)，散戶也是賺錢的。而當(dāng)莊家做空（出反面），散戶也跟著做多（出正面）時(shí)，散戶是賠錢的。
需要注意的是，這個(gè)游戲的博弈論模型是一種理想化的狀態(tài)，比如這個(gè)模型把每種情況的贏利設(shè)定為固定數(shù)值。而實(shí)際的股市有更多的變量需要考慮，遠(yuǎn)比這個(gè)模型復(fù)雜得多。
以上為一個(gè)游戲所反映的股市概率問題，希望對(duì)你有所幫助。
