相對(duì)論（relativity），量子力學(xué)(quantum mechanics)和超對(duì)稱(chēng)(supersymmetry)
相對(duì)論（一）
在我有生之年，可能遇到的最讓我開(kāi)心的事就是看到超對(duì)稱(chēng)在LHC被證實(shí)了，那時(shí)我一定激動(dòng)地?zé)釡I盈眶，朝聞道，夕死可矣。有些時(shí)候和系里面的朋友聊天，朋友偶爾抱怨現(xiàn)在并不是研究物理的好年代，羨慕或是嫉妒這張經(jīng)典的索維爾會(huì)議（Soviet conference）照片里所有的人。
雖然相對(duì)論還有量子力學(xué)還沒(méi)有完全的自洽起來(lái)從而得到終極的量子引力理論，但是越來(lái)越多的經(jīng)驗(yàn)似乎在告訴物理學(xué)家，我們并不需要其他的假設(shè)，單單是相對(duì)論還有量子力學(xué)就足夠我們得到宇宙最終的答案。有一個(gè)比喻是這樣的，如果把一個(gè)懂的數(shù)理邏輯的人關(guān)在一個(gè)黑屋里讓他隔絕所有對(duì)自然的觀(guān)測(cè)，然后只告訴他自然的規(guī)律要滿(mǎn)足相對(duì)論和量子力學(xué)，那么最后他所導(dǎo)出的物理模型會(huì)和我們看到的世界差不太多，可能有些基本常量的數(shù)值不太一樣。
相對(duì)性原理可以理解為一種對(duì)稱(chēng)性原理，也就是每個(gè)慣性觀(guān)測(cè)者應(yīng)該是等價(jià)的（洛倫茲對(duì)稱(chēng)），換句話(huà)說(shuō)就是要求系統(tǒng)本身具有洛倫茲對(duì)稱(chēng)性。在之前的文章（李群和李代數(shù)）里我也提過(guò)，系統(tǒng)的解（量子態(tài)）和群的表示有一個(gè)一一對(duì)應(yīng)。洛倫茲的群表示為SO(3,1)，基本的操作是4維時(shí)空的轉(zhuǎn)動(dòng)。SO代表轉(zhuǎn)動(dòng)，3表示3個(gè)空間方向的轉(zhuǎn)動(dòng)；那個(gè)1和時(shí)間維度有關(guān)，因?yàn)闀r(shí)間是單向的，所以轉(zhuǎn)動(dòng)操作失去了意義，取而代之是稱(chēng)為boost（速度影響時(shí)間的流逝）的操作。常見(jiàn)的洛倫茲群的表示是標(biāo)量(0)還有向量(1)。還有比較特殊的表示:自旋子(spinors)(1/2). 每個(gè)表示后面括號(hào)里面值可以理解為如果你對(duì)這個(gè)量子態(tài)進(jìn)行一個(gè)周天的轉(zhuǎn)動(dòng)，這個(gè)量子態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)。所以標(biāo)量不會(huì)動(dòng)，向量會(huì)跟著轉(zhuǎn)一圈，但是spinor只轉(zhuǎn)半圈。如果用一個(gè)箭頭來(lái)表示spinor(??)，一周天的轉(zhuǎn)動(dòng)操作后，這個(gè)spinor變成(??)，和之前完全不同的一個(gè)量子態(tài)。你可能覺(jué)得很奇怪，為什么轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)性消失了。其實(shí)不盡然，記住雖然系統(tǒng)本身具有對(duì)稱(chēng)性但是我們并不需要系統(tǒng)的解具有相同的對(duì)稱(chēng)性，對(duì)稱(chēng)操作是把一個(gè)解轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)解。所以我們知道(??)這個(gè)態(tài)也一定存在的。(我們可以考慮spinor的能量，能量在空間轉(zhuǎn)動(dòng)下表現(xiàn)為標(biāo)量，所以進(jìn)行一個(gè)周天的操作下不會(huì)改變，我們就可以得知 ??和??spinor應(yīng)該有相同的能量；如果spinor和一個(gè)空間向量相互作用，很多人知道spinor會(huì)和磁場(chǎng)相互作用，那么進(jìn)行一個(gè)周天的轉(zhuǎn)動(dòng)操作下，能量不應(yīng)該變，磁場(chǎng)方向不變，但是自旋方向變了！自旋和磁場(chǎng)的相對(duì)方向決定了spinor的勢(shì)能。那么按照這個(gè)分析，spinor在周天轉(zhuǎn)動(dòng)下，能量應(yīng)該發(fā)生改變！這似乎有個(gè)矛盾，其實(shí)從這個(gè)我么可以得知磁場(chǎng)并不是向量，而是所謂的偽(pseudo-)向量。)
（一切看起來(lái)都很合理除了這個(gè)自旋表示的存在本身。一個(gè)理解是我們之前說(shuō)量子態(tài)和對(duì)稱(chēng)的表示一一對(duì)應(yīng)。其實(shí)準(zhǔn)確的來(lái)說(shuō)，這并不是要求和群的表示對(duì)應(yīng)而是和群的李代數(shù)的表示對(duì)應(yīng)。三維轉(zhuǎn)動(dòng)SO(3)和二維在復(fù)數(shù)空間的轉(zhuǎn)動(dòng)SU(2)具有相同的李代數(shù)，而二維空間的轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)表示很直接的就是一個(gè)2維(??，??)復(fù)數(shù)向量。同樣的我們有SO(3,1)，SO(4)和SU(2)xSU(2)具有相同的李代數(shù)。具有相同李代數(shù)的李群之間并不等價(jià)，只是相差一些離散（比如反射）的對(duì)稱(chēng)性。用拓?fù)涞恼Z(yǔ)言就是，李群對(duì)應(yīng)了流形李代數(shù)對(duì)應(yīng)了流形上的向量空間。如果流形是連接的（connected）那么可以由local的李代數(shù)得到global的李群。但是如果李群本身就是由不連接的（disjoint）的大陸組成的，那么就可以出現(xiàn)局部性質(zhì)一樣但是全局性質(zhì)不一樣的情況。比如SO(3)是連續(xù)的一塊大陸，但是SU(2)是由2塊相同但是不連接的大陸組成，我們可以說(shuō)SU(2)是SO(3)的一個(gè)雙層覆蓋（double cover）所以你繞SO(3)的大陸跑一圈，對(duì)應(yīng)的在SU(2)大陸上，你在第一塊大陸也跑了一圈，但是你沒(méi)有回到原點(diǎn)而是跳到第二塊大陸上了）。
對(duì)于完整的洛倫茲的自旋表示，因?yàn)槲覀冇袃蓚€(gè)SU(2)，所以我們可以有兩種spinors，一般稱(chēng)為左和右。一個(gè)spinor可以由一個(gè)整數(shù)或是半整數(shù)來(lái)表示。所以最最一般的洛倫茲群的自旋表示為（n,m), 分別代表了左和右的自旋態(tài)。其中（?，?）和一個(gè)向量在轉(zhuǎn)動(dòng)下的行為一樣，所以可以理解為一個(gè)向量。從群論的角度來(lái)看，自旋表示比起向量或是其他其實(shí)更自然。因?yàn)槿绻鸖U(2)和 SO(3) 關(guān)系，每一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)群SO(N)，都有一個(gè)double cover，稱(chēng)為自旋群(spin group) Spin(N)。
量子力學(xué)（二）
量子原理可以理解為不確定原理。最直接的一個(gè)粒子的位置和速度不同同時(shí)確定。所以不可以有靜止的粒子。所以不可以有經(jīng)典(滿(mǎn)足量子力學(xué)之前的物理定律)的運(yùn)動(dòng)軌跡（當(dāng)然靜止也是一種運(yùn)動(dòng)軌跡）?？紤]如果有兩個(gè)粒子的量子態(tài)一模一樣會(huì)怎樣？
我們就可以精確測(cè)量一個(gè)粒子的位置，然后再精確測(cè)量另外一個(gè)粒子的速度，我們就同時(shí)測(cè)得里這個(gè)量子態(tài)的位置和速度！當(dāng)然這個(gè)是不被量子力學(xué)允許的。我們有兩個(gè)解決方案，兩個(gè)方案也對(duì)應(yīng)了兩種不同種類(lèi)的量子態(tài)。方案一，很簡(jiǎn)單直接要求在這個(gè)狀態(tài)上只允許存在一個(gè)粒子，這就是泡力（Pauli）不相容原理，而這種量子態(tài)被稱(chēng)為費(fèi)米態(tài)的。方案二，我們?cè)试S在這個(gè)量子態(tài)上存在多個(gè)粒子，但是我們同時(shí)要求，這些粒子之間是相互聯(lián)系的，相干的，糾纏的。所以當(dāng)你試圖測(cè)量一個(gè)粒子位置或速度的時(shí)候，就會(huì)影響另外的粒子，所以你就不能再精確測(cè)量其他物理量了，這種量子態(tài)成為波色態(tài)。相干或者糾纏是量子態(tài)的普遍特性，并不是只是波色態(tài)獨(dú)有的。一般來(lái)說(shuō)糾纏態(tài)就是當(dāng)你測(cè)量其中的一個(gè)粒子后，另一個(gè)粒子的狀態(tài)會(huì)隨之改變。
類(lèi)似的道理，量子態(tài)最好不能是連續(xù)的。連續(xù)就意味著，兩個(gè)態(tài)可以無(wú)限的接近，這樣你就可以同時(shí)無(wú)限準(zhǔn)確地測(cè)量位置和速度只要你選取兩個(gè)無(wú)限接近的量子態(tài)。雖然你也可以說(shuō)無(wú)限接近和完全相同還是本質(zhì)不一樣的，可是數(shù)學(xué)上兩者是等價(jià)的。比如0.999999（無(wú)窮循環(huán)）和 整數(shù)1 是相等的。
費(fèi)米態(tài)看起來(lái)有點(diǎn)奇怪，可是還是很必要的。不然的話(huà)所有的粒子都會(huì)趨于最低能量態(tài)，那樣的話(huà)這個(gè)世界就一片死寂了。正是因?yàn)椴幌嗳菰聿庞辛朔被ㄋ棋\的量子態(tài)，才有了不同的原子，才讓材料有了各種不同的物理化學(xué)性質(zhì)。
似乎不存在一個(gè)很直觀(guān)的解釋?zhuān)贿^(guò)理論上可以證明，相對(duì)論原理要求所有的費(fèi)米態(tài)都有自旋半整數(shù)，所有的波色態(tài)都有自旋整數(shù)。
因?yàn)椴淮嬖谖ㄒ坏能壽E(歷史)，給定同一個(gè)初態(tài)(這里需要一次測(cè)量來(lái)確定初狀態(tài))，最后觀(guān)測(cè)的結(jié)果(這里需要第二次測(cè)量)可能不同，而是服從一種概率分布。所以測(cè)量的初狀態(tài)和測(cè)量的末狀態(tài)不再像經(jīng)典力學(xué)那樣是一一對(duì)應(yīng)的了。而是另外的極端。就是給定一個(gè)測(cè)量的初狀態(tài)，所有的可測(cè)量的末狀態(tài)都是有一定概率發(fā)生的。這也可以說(shuō)所有的軌跡都是可能發(fā)生，或者成為歷經(jīng)所有歷史。而不同歷史概率應(yīng)該就是路徑本身的決定的。不同的路徑有不同的概率，也可以說(shuō)這個(gè)概率是歷史的函數(shù)(更準(zhǔn)確的說(shuō)是泛函)。在所有的路徑里有一條特殊的經(jīng)典路徑，就是服從經(jīng)典力學(xué)的路徑。這條路徑是我們宏觀(guān)見(jiàn)到的路徑，所以我們可以想象這條路徑是概率最大的，這也意味著在經(jīng)典力學(xué)適用的范圍我們可以忽略其他路徑的貢獻(xiàn)。這也給出了我們這個(gè)概率函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)，就是在經(jīng)典路徑下取極值。
這里我們也可以反過(guò)來(lái)想。如果我們有了這個(gè)概率函數(shù)，那么我們可以通過(guò)求這個(gè)函數(shù)的極值來(lái)尋找經(jīng)典路徑或是推導(dǎo)出粒子應(yīng)該滿(mǎn)足的經(jīng)典力學(xué)。
量子修正會(huì)隨著能量的增加而逐漸加強(qiáng)，這也意味著要得到一個(gè)可靠的結(jié)果我們可以忽略的路徑也越來(lái)越少。
這里我們也可以換一個(gè)思路。類(lèi)似于在能量很低的時(shí)候，我們只需要很簡(jiǎn)單的經(jīng)典力學(xué)然后只考慮一條經(jīng)典路徑，可不可以在能量升高量子效應(yīng)不可忽略的時(shí)候，我們找到一個(gè)比經(jīng)典力學(xué)復(fù)雜一些的理論然后把這個(gè)復(fù)雜一些的理論當(dāng)做我們新的經(jīng)典的理論然后還是只考慮一條新的改正后經(jīng)典路徑。答案是可以的。這個(gè)新的經(jīng)典理論稱(chēng)為有效理論(effective theory)。我們也可以理解為我們通過(guò)不斷修正經(jīng)典力學(xué)來(lái)無(wú)限近似量子力學(xué)的結(jié)果。當(dāng)然修正后經(jīng)典力學(xué)也變得越來(lái)與復(fù)雜，而且當(dāng)修正到很后面的時(shí)候，計(jì)算量可能和考慮更多路徑的計(jì)算量差不多。
這就體現(xiàn)出超對(duì)稱(chēng)理論的美來(lái)了。有的超對(duì)稱(chēng)理論(N=4SYM)完全不需要量子修正，有的超對(duì)稱(chēng)理論(N=2SYM)的effective theory可以很容易(當(dāng)然需要的一定的智慧 Seiberg-Witten theory)的確定。
超對(duì)稱(chēng)（三）
用代數(shù)的語(yǔ)言說(shuō)相對(duì)性原理就是，描述自然的系統(tǒng)本身具有洛倫茲不變形，或者說(shuō)系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)群是SO(3,1)。所以系統(tǒng)的解必須是洛倫茲群的某種表示(representation)。每種不同的表示代表了不同類(lèi)型的粒子。比如量子電動(dòng)力學(xué)，我們有電子還有光子(量子化的電磁場(chǎng))。電子就是自旋表示而光子就是向量表示。還有引力量子化后的引力子是一個(gè)對(duì)稱(chēng)張量(tensor)表示。在洛倫茲變化下，不同表示下的粒子只在自己的表示中轉(zhuǎn)化。
而超對(duì)稱(chēng)是一種對(duì)稱(chēng)操作，把一種表示下的粒子變化到另一種表示下的粒子。注意這里說(shuō)的表示都是洛倫茲群的表示。因?yàn)樵诹Ｗ游锢砝铮诼鍌惼潓?duì)稱(chēng)的基礎(chǔ)上我們還要加上其它的對(duì)稱(chēng)，這些群也有對(duì)應(yīng)的表示。而超對(duì)稱(chēng)并不會(huì)改變這些額外群的表示。還是考慮量子動(dòng)力學(xué)，量子動(dòng)力學(xué)的額外的對(duì)稱(chēng)性成為U(1)或者SO(2)對(duì)稱(chēng)性，這個(gè)對(duì)稱(chēng)性也是電子帶電的原因。這里需要稍微解釋一下。
當(dāng)我們說(shuō)某種東西帶電的時(shí)候，我們物理上其實(shí)是說(shuō)，這種東西會(huì)被電磁場(chǎng)影響。從代數(shù)的角度去理解就是，電磁場(chǎng)(光子)本身代表了某種群操作，而這個(gè)帶電的物體屬于這個(gè)群的某種表示。因?yàn)殡姾芍挥姓?fù)兩種(兩種態(tài))并且光子只有一種(一種操作)，那么可以想象這個(gè)對(duì)稱(chēng)就應(yīng)該這種正負(fù)電荷之間的相互轉(zhuǎn)化也就是SO(2)。而且因?yàn)楣庾又挥幸环N，所以光子和光子之間不會(huì)直接相互作用，因?yàn)橹挥幸环N態(tài)。用群論的語(yǔ)言就是，電子屬于SO(2)群的基本(fundamental)表示，光子是群的伴隨(adjoint)表示。所以不存在超對(duì)稱(chēng)讓電子和光子相互轉(zhuǎn)化。但是我們可以分別引入電子和光子的超對(duì)稱(chēng)伴侶超電子(selectron)和超光子(photonino)從而構(gòu)造超對(duì)稱(chēng)的量子點(diǎn)動(dòng)力學(xué)。所以要引入超對(duì)稱(chēng)，我們必須加倍我們目前已知的所有基本粒子，也就是給每一個(gè)基本粒子找一個(gè)伴侶(不容易啊)！
以上是從物理角度描述超對(duì)稱(chēng)。
我們也可以完全從代數(shù)角度理解：擴(kuò)大洛倫茲的群結(jié)構(gòu)，從而這個(gè)更大的群的表示自動(dòng)包涵了洛倫茲群的多種表示。比如我們希望新的群的一個(gè)表示可以包涵自旋(自旋為?)表示和標(biāo)量(自旋為0)表示。
在原先的洛倫茲群(old)的操作下我們有：
自旋(1/2) -> 自旋(1/2)
自旋(0) -> 自旋(0)
我們需要增加的群操作(new)是：
自旋(1/2) -> 自旋(0)
自旋(0) -> 自旋(1/2)
我們發(fā)現(xiàn)我們得到了一個(gè)更高一層的代數(shù)結(jié)構(gòu)：
old+old=old; (連續(xù)兩個(gè) old 操作可以等同一個(gè)新的old 操作)
new+new=old; (連續(xù)兩個(gè) new 操作可以等同某一個(gè)old 操作)
old+new=new; (連續(xù)new 和 old 操作可以等同某一個(gè)new操作)
這在代數(shù)上成為一種分級(jí)(grading)。
所以通過(guò)這種分級(jí)我們可以自然的把洛倫茲群擴(kuò)展為分級(jí)洛倫茲群。
