1.排列&組合

• 有n個(gè)小球從中抽取m個(gè)，問(wèn)有序抽取并且有重復(fù)的抽取個(gè)數(shù)為多少？

  

• 有n個(gè)小球從中抽取m個(gè)，問(wèn)有序抽取并且無(wú)重復(fù)的抽取個(gè)數(shù)為多少？

  排列：

• 有n個(gè)小球從中抽取m個(gè)，問(wèn)無(wú)序抽取并且無(wú)重復(fù)的抽取個(gè)數(shù)為多少？

  組合：

• 有n個(gè)小球從中抽取m個(gè)，問(wèn)無(wú)序抽取并且有重復(fù)的抽取個(gè)數(shù)為多少？

  

以上四種情況均為最常見(jiàn)的排列組合，從有無(wú)順序和是否重復(fù)兩個(gè)維度進(jìn)行思考，建議理解并背誦。

2.使用Python表示排列組合

在使用python計(jì)算排列組合之前，需要計(jì)算階乘，可以有兩種方式，一是使用math庫(kù)中的factorial函數(shù)，二是使用如下的遞歸函數(shù)。

def factorial(n):
    """
    計(jì)算階乘
    :param n: data
    :return:
    """
    if n == 1:
        return 1
    else:
        return n * factorial(n-1)

按照排列的公式：

def my_permutation(n, k):
    """
    計(jì)算無(wú)重復(fù)有序的排列數(shù)
    :param n: 樣本
    :param k: 抽取
    :return: 排列數(shù)
    """
    return factorial(n)//factorial(n-k)

按照組合的公式：

def my_combination(n, k):
    """
    計(jì)算無(wú)序且不重復(fù)的組合數(shù)
    :param n: 樣本
    :param k: 抽取
    :return: 組合數(shù)
    """
    return factorial(n)//(factorial(n-k)*factorial(k))

3.例題

3.1 生日問(wèn)題

假設(shè)一個(gè)班級(jí)中共有n個(gè)人，一年有365天，其中每天作為生日的概率是相等的，那么其中至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率是多少？

此題屬于全排列問(wèn)題，需要反向思考，寫(xiě)出公式之后直接輸入到python中計(jì)算

def birth(n):
    """
    計(jì)算至少有兩人的生日在同一天的概率
    :param n: 班級(jí)人數(shù)
    :return: 概率
    """
    return 1 - factorial(365)/(factorial(365-n)*365**n)


# prob = birth(50)
# print("{:.2f}%".format(prob*100))

3.2 大樂(lè)透問(wèn)題

大樂(lè)透的玩法是這樣的，從35個(gè)紅球中選擇5個(gè)，從12個(gè)紅球中選擇2個(gè)，如果全中，那就中一等獎(jiǎng)。那么請(qǐng)問(wèn)，中一等獎(jiǎng)的概率是多少？

此題屬于組合問(wèn)題，中獎(jiǎng)的可能性為一種，因此分子為1，分母為所有的組合情況。

def prize():
    return 1/(my_combination(35, 12) * my_combination(12, 2))


prob = prize()
print("{:.15f}%".format(prob%100))