第五公設(shè)
第5公設(shè)是歐幾里得幾何的第5條公設(shè)。
所謂公設(shè)，就是不證自明的基石假設(shè)。
比起前面4條公設(shè)，第5條公設(shè)的描述稍顯繁瑣。它是這么說(shuō)的。
當(dāng)兩條直線與第3條直線相交的時(shí)候，它們同側(cè)的內(nèi)角和如果小于兩個(gè)直角和，那么這兩條直線一定會(huì)在某個(gè)地方相交。
這段描述實(shí)在太長(zhǎng)太拗口，于是數(shù)學(xué)家們一度認(rèn)為這是不必要的。這也許可以從其他4個(gè)公設(shè)推導(dǎo)出來(lái)。使他成為一個(gè)定理。
但這種努力卻沒(méi)有成功，直到一個(gè)蘇格蘭數(shù)學(xué)家約翰普萊費(fèi)爾，提出了普拉菲爾公理。
過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與它平行。
普萊費(fèi)爾公理被認(rèn)為是跟第五公設(shè)完全等價(jià)的公理。
雖然是換了個(gè)馬甲，但他還是沒(méi)有辦法被證明呢，那怎么辦呢？
俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基，是這么想的，既然他不能被證明，那我換一個(gè)假設(shè)可以嗎？
你是說(shuō)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與它平行，那我就假?zèng)]，
過(guò)直線外一點(diǎn)有至少兩條直線與它平行。
根據(jù)這個(gè)假設(shè)與其他4條公理，結(jié)合起來(lái)，居然推導(dǎo)出了與歐幾里德幾何完全不一樣的幾何學(xué)。
這也被稱(chēng)為非歐幾何的一個(gè)重要分支，羅氏幾何。
既然連羅氏幾何的假設(shè)都可以成立，那么如果假設(shè)，
過(guò)直線外一點(diǎn)，沒(méi)有一條直線與它平行
，又會(huì)怎么樣呢？
結(jié)果德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼根據(jù)這個(gè)假設(shè)，創(chuàng)立了黎曼幾何。
從而從另一個(gè)角度，證明了第五公設(shè)不可證明。
直角相等
第4條公設(shè)，凡直角都相等。
前面說(shuō)過(guò)，公設(shè)就是不證自明。
從另外一個(gè)角度來(lái)講，歐幾里得一直都沒(méi)有辦法證明所有直角都相等。
命題1.13 兩條直線相交，鄰角是兩個(gè)直角或相加等于180度。
這個(gè)命題其實(shí)推論了直角就是90度，
因?yàn)榘醋置嫔系慕忉專(zhuān)浑y推導(dǎo)出兩個(gè)直角相加等于180度，
180度除以2，即得直角等于90度。
BUT，歐幾里得沒(méi)有直接說(shuō)明。
而是認(rèn)為兩條直線相交，鄰角有可能是兩個(gè)直角。
這意味著歐幾里得已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，直角有著詭異的變種。
當(dāng)變換維度時(shí)，比如在球畫(huà)幾何上，直角也許不會(huì)等于90度。
BUT，如果直角不等于90度，那剛才的推論不成立。
這種循環(huán)假設(shè)讓歐幾里得，百思不得其解。
于是不得不在定義里加上直角的描述。
鄰角是兩個(gè)直角，意味著直角在平面幾何里，一直是特殊的存在，而不僅僅作圖方便而已。
再回頭思考鄰角是兩個(gè)直角，或相加等于180度。
它意味著，兩條直線相交的鄰角和等于180度。
BUT，還有另外一種情形，另外一種特殊情況，
兩個(gè)鄰角分別是兩個(gè)直角。
如果這兩個(gè)直角不相等，萬(wàn)一它們不相等，
假設(shè)兩個(gè)直角不相等，
發(fā)生了什么？
這兩個(gè)直角沒(méi)有在同一個(gè)維度上。
于是它們也無(wú)法簡(jiǎn)單相加。
因?yàn)閮蓚€(gè)直角不能相加，所以也無(wú)法推導(dǎo)出兩個(gè)直角和就是180度。
歐幾里得不得不運(yùn)用五條公設(shè)、五條公理去限制幾何學(xué)的想象力，
卻在他不斷證明其后的465條定理中，
默默地把這些悖論隱藏起來(lái)，留待后來(lái)者去試圖證明它。
