從命題十七開始，到命題三十二為止。探討三角形中的不等式。同時，也討論平行。
現(xiàn)代的不等號，就是在一組平行線上，畫上一條斜線。≠ 。研究平行的時候也是，用一條直線與待考察的兩條直線相交，然后考察那些相交的角。不等關(guān)系從一開始就與平行有著說不清的聯(lián)系。就像透過有限，來研究無限;透過相交，來研究平行;知道生，才知道死。這些道理是一致的。
討論平行的命題，從第二十七開始。但只有二十七，二十八兩個命題是來自外角定理的推論。
從第二十九命題開始，第一卷剩下所有的命題都與第五公設(shè)相關(guān)。
因此，第一卷可以這樣劃分：
先劃分為兩部分，
1-28命題為第一部分，得到一條平行線;
29-48命題為第二部分，研究這線的性質(zhì)。
或者說，獨(dú)立于第五公設(shè)的部分，以及第五公設(shè)推導(dǎo)的部分。
≠ 關(guān)系
命題十七 三角形的兩個內(nèi)角和小于兩直角。
這個命題是外角定理直接的推論，假設(shè)三角形的兩個內(nèi)角為A,B,C,而且與A相鄰的外角為 alpha,明顯，A+alpha為兩個直角,而 B< alpha，所以A+B小于兩個直角。
作為外角定理的推論，也與外角定理等價。這個命題，比看上去重要，留待后面討論。
命題十八 在三角形中，大邊對大角。
圖形只是一個特例。這個命題與第五命題呼應(yīng)。
命題十九 在三角形中，大角對大邊。
命題十九實(shí)際上蘊(yùn)含在命題十八的逆否命題中?！按筮厡Υ蠼恰钡哪娣衩}是“不大的角對不大的邊”，也就是“等角或小角對等邊或小邊”，比較的時候，是兩個角在比較，一個角自稱“等角或小角”，那么另一個角就可自稱為“大角”，一個邊自稱“等邊或小邊”，那么，另一個邊自然是“大邊”，那么，從另一個角的和它對的邊來看，自然就是“大角對大邊”。
而且，這兩個命題的排列同前面的都有所不同，例如命題5和命題6,排列上奇數(shù)在前，偶數(shù)在后。從這兩個命題開始，本部分“成對”出現(xiàn)的命題都變成了偶數(shù)在前，奇數(shù)在后。直到第三部分，討論面積的時候，恢復(fù)成原始的樣子。
這里發(fā)生了什么？留待后面討論。
命題二十 三角形兩邊之和大于第三邊。
這個從直覺上，折線長大于線段長就可以理解。或者“兩點(diǎn)之間，直線最短”也可以得出解釋。
這個是著名的“三角形不等式”。
命題二十一 以三角形一邊的兩個端點(diǎn)向三角形內(nèi)引兩條相交線，那么交點(diǎn)到這兩個端點(diǎn)的兩條線段和小于三角形余下的兩邊和，所形成的角大于余下兩邊的夾角。
這個命題很長。實(shí)際上是命題二十的練習(xí)題?？雌饋硐袷菧悢?shù)的命題，純粹為調(diào)節(jié)命題序號而存在。但與圓內(nèi)的點(diǎn)相關(guān)的命題比較起來看，存在也很合理。
如圖的三角形ABC內(nèi)取一點(diǎn)，連接BD,BC，則角BDC大于角BAC，這個容易證明，因?yàn)榻荁DC可以看作兩個三角形的外角。根據(jù)外角定理，以及同向不等式可加，易證。
長度的證明有技巧性，因此是及好的練習(xí)題。只適當(dāng)?shù)淖鲚o助線，運(yùn)用命題20證明。
命題二十二 用滿足三角形不等式的三邊可作三角形。
這個命題實(shí)際上對命題一作出了保證。保證了等邊三角形可以做出來。
這個命題實(shí)際上是命題二十的逆命題。命題二十講，如果已知j三角形，那么可以有不等式。本命題是講，如果同時滿足三個不等式，那么可做三角形。
命題二十三 給定頂點(diǎn)和一邊，可遷移角。
實(shí)際上使用了SSS全等來遷移一個角。希爾伯特對角的遷移作了公理化處理。
命題二十四 兩個三角形有兩條邊對應(yīng)相等，其中一個三角形對應(yīng)的夾角大于另一個三角形的夾角，那么，這個三角形的第三邊也大于另一個的第三邊。
命題二十五 三角形中如果有兩條對應(yīng)邊相等，其中一個的第三邊比另一個大，那么，較大的邊對的角也較大。
這兩個命題被形象的稱為“剪刀定理”，好比拿著一把剪刀，兩邊張開的角度越大，剪刀兩個尖端的距離自然越遠(yuǎn);反之也是，要剪大的東西，自然要張開更大的角度。
這兩個命題實(shí)際上是余弦定理的前身，精確量化以后，就是余弦定理。而余弦定理在取直角的時候，就是勾股定理。因此，這兩個定理同勾股定理有著聯(lián)系。也同SAS和SSS全等密切聯(lián)系。很明顯，兩旁的量如果一樣，那么中間的量決定了三角形是否能夠全等。
這兩個命題是“成對”的，注意到，仍然是偶數(shù)序號在前面。這不科學(xué)，好比印書的時候，把頁碼2,和頁碼3印在一張紙的正反面。為什么這樣呢？留待后面解釋。
命題二十六 ASA全等，AAS全等
ASA全等可以通過前面的各種全等證明。也可以出現(xiàn)在更早的地方。歐幾里得的證明用到了外角定理，因此出現(xiàn)在這里。希爾伯特因?yàn)橐?guī)定了角的遷移，因此，一早就給出了證明。
ASA出現(xiàn)在這里，表示，
前方高能
要把等腰三角形的兩個底角張開來，把腰挺直，讓頂角分開，看看，張開到什么程度，腰所在的向上的射線就不再相交。
命題二十七 內(nèi)錯角相等，兩直線平行。
命題二十八 同位角相等，兩直線平行。同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。
這兩個命題就明確的指出了，直線什么時候不相交，也就是平行。
這兩個命題本質(zhì)上是一樣。給出了三種判定平行線的方法。證明過程中，用到了外角定理。也就是說，這兩個命題把重要的事情說了三遍。
這兩個命題是平行線的判定定理。
這兩個命題的來源是命題十六，外角定理。
這里本該安排三個命題，或者一個就夠了。為什么是兩個呢？僅僅為了調(diào)節(jié)配對。要做這樣的事情，只是因?yàn)槊}十七。
再次考察命題十七。
三角形的兩個內(nèi)角和小于兩直角
歐幾里得曾為好看的命題都增加一個逆命題或者配對的命題。但命題十七沒有。當(dāng)初應(yīng)該有。那么當(dāng)初，命題十七的逆命題是怎樣的呢？
先看原命題
原命題說，如圖三角形的兩個內(nèi)角和小于兩個直角。
命題十七原命題也可以這樣說：
同一平面內(nèi)，一條直線（AB）和另外兩條直線（AC和BC）相交，這兩條直線在AB的一側(cè)相交（點(diǎn)C為交點(diǎn)），那么，這一側(cè)的兩個內(nèi)角和小于二直角的和。
那么，當(dāng)初，命題十七的逆命題或者說配對的命題應(yīng)該這樣寫：
同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線都相交，若在直線同側(cè)的兩個內(nèi)角之和小于兩個直角，則這兩條直線（無限延伸后）在這一側(cè)相交。
眼熟嗎？當(dāng)初，歐幾里得每寫一個命題，就配對一個命題（有是逆命題，有時不是）。然后證明之。到第十七命題的時候，也配對了這樣一個命題。然后就開啟了證明模式。
最后發(fā)現(xiàn)，盡管這個命題直覺上很正確的，但用已有的全等理論、外角定理等等，居然無法證明！無法證明！無法證明！
于是，他就把本該是第十八命題的這個命題移到前面，懸掛在那里，暫時作為公設(shè)，有空了回來證證看。后面幾個命題序號的奇偶先錯亂一下，算是作個標(biāo)記，提醒自己回來證明這個公設(shè)。
現(xiàn)有的命題十八和命題十九互為逆否命題，也暗示了這一點(diǎn)。也就是說。命題十八和命題十九是完全等價的。因此，可以只有一個。
因?yàn)橐恢辈荒茏C明，所以它就一直不能回到命題十八的位置上，而只能一直懸掛在前面，作為公設(shè)永遠(yuǎn)流傳下來了。
這個公設(shè)就是第五公設(shè)。引無數(shù)英雄競折腰。歐幾里得是第一個英雄，后面還有很多很多的英雄，試圖用第一到第十七命題來證明它，但從來沒有成功過。
如果你也想嘗試一下，那么，一定只能用最前面的十七個命題，或者寬一點(diǎn)，第一卷最前面的二十八個命題。因?yàn)椋偃缬昧撕竺娴拿}，一不小心就會使用第五公設(shè)的等價命題來證明第五公設(shè)。就像證明“我是我”一樣，因?yàn)椤拔沂俏摇保浴拔沂俏摇薄?/p>
第五公設(shè)引出的故事，用三天三夜也講不完。
命題二十九 兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)（和為兩個直角）。
命題二十九是命題二十七和二十八的逆命題。證明的時候，不得已要用到第五公設(shè)。
這個命題講的是平行線的性質(zhì)，也就是已知兩直線平行，會發(fā)生什么。
這個命題的證明用到了第五公設(shè)。
并且，從這個命題開始，直到第48命題，每一個都同第五公設(shè)有關(guān)。因?yàn)椋玫搅似叫芯€的性質(zhì)。
因此，凡是不得不使用平行線性質(zhì)證明的命題，都需要第五公設(shè)直接或間接來參與證明。
第二十七和二十八命題講平行線的判定，也就是說，判定兩兩直線滿足某些條件，就可以平行。來源是外角定理，與第五公設(shè)無關(guān)。
命題三十 一些直線平行于同一直線，它們也相互平行。
這是平行的傳遞性。也屬于平行線的性質(zhì)。自然，與第五公設(shè)相關(guān)。實(shí)際上，等價。
命題三十一 Playfair公理
盡管有人不認(rèn)為歐幾里得發(fā)現(xiàn)了這個公理，過直線外一點(diǎn)，能作且只能作一條平行線平行于已知直線。但我認(rèn)為，他肯定知曉。因?yàn)椋@個命題的位置在這里。它前后的命題都與第五公設(shè)相關(guān)，它自身也是與第五公設(shè)相關(guān)的。
單從外角定理就可以做平行線了，例如，平移正三角形的一內(nèi)角到外角內(nèi)。證明平行不需要第五公設(shè)。
歐幾里得單獨(dú)設(shè)這樣一個命題，就是在說：只能作一條平行線。
既然第五公設(shè)放在了前面，這個等價的命題就沒有必要也放在前面。
命題三十二 三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和。三角形的三個內(nèi)角和為兩個直角。
這個命題，是三角形的內(nèi)角和定理。最廣為人知。
三角形三個內(nèi)角的和為一百八十度。
證明的時候，直接使用了平行線的性質(zhì)。
也可以用來代替第五公設(shè)。
用平行線的性質(zhì)，很容易證明平行線之間，處處距離相等。
勾股定理也就有了基礎(chǔ)。
同時，勾股定理與第五公設(shè)也有密切的關(guān)系。
在此后，很多地方，如相似等，都用的了平行線的性質(zhì)，也就是說，間接引用了第五公設(shè)。第五公設(shè)看上去很長，望之不似人君，所以，后來的數(shù)學(xué)家想把它證明，然后移除，于是發(fā)生很多很多的故事。
第五公設(shè)不是家丑，而是歐氏幾何的精華。
本部分命題結(jié)構(gòu)如下
很多一部分是來自外角定理的命題，只講三角形中的不等式。
簡化結(jié)構(gòu)以后，就是這個樣子：
可以看到，第五公設(shè)就是命題十七的逆命題，命題28和29也互為逆命題，而且偶數(shù)在前。從27到29的命題，可以隨意的拆分，調(diào)節(jié)序號。
30和32命題直接來源于第五公設(shè)。
31命題，指出了平行線的存在性，來自外角定理；同時指出了平行線的唯一性，來自第五公設(shè)。是兩個命題合并起來的命題。
在外角定理作為大前提的情況下，Playfair公理和第五公設(shè)是等價的。歷史上的英雄想通過證明來移除第五公設(shè)的嘗試失敗了，但成功的幫它完成了瘦身，如今，教科書上都寫平行公理：
平行公理（Playfair公理）
給定一條直線，通過此直線外的任何一點(diǎn)，有且僅有一條直線與之平行。
而第五公設(shè)的等價寫法是
歐幾里得公理
設(shè)a是任一直線，A是a外的任一點(diǎn)，在a和A所決定的平面上，至多有一條直線過A且不和a相交。
在設(shè)定阿基米德公理的情況下，
外角定理表明，存在；
歐幾里得公理表明至多有一條。
平行公理說，有且僅有一條。
到底有多少，你說了算。
先師歐幾里得，羅巴切夫斯基，黎曼......請賜我力量，讓我進(jìn)步。
最終總結(jié)，本卷結(jié)構(gòu)：
