希波克拉底
為了計(jì)算圖形的面積，我們可以將復(fù)雜圖形，通過尺規(guī)作圖和勾股定理，轉(zhuǎn)化成面積不變的圖形：
- 長方形 => 正方形
- 三角形 => 長方形
- 多邊形 => n * 三角形
- 2 正方形 => 1 正方形
通過勾股定理導(dǎo)出的這些方法，已經(jīng)足夠睿智了，但希臘人的智慧還不止于此，他們還嘗試去計(jì)算由曲線包圍的圖形的面積。一種特殊的月牙形的面積，依然通過勾股定理。
不過同時(shí)，對于如何將一整個(gè)圓轉(zhuǎn)化成正方形，希臘人也做了嘗試，但從未成功過。這在千年后被證明是不可能的，因?yàn)槌咭?guī)作圖是在「代數(shù)數(shù)」的范圍內(nèi)做加減乘除根號運(yùn)算，因而得到的也只能是另一個(gè)「代數(shù)數(shù)」，而pi確是一個(gè)所謂「超越數(shù)」
我也是頭一回看到這種分類：
實(shí)數(shù) = 代數(shù)數(shù) + 超越數(shù)
歐幾里得
《幾何原本》自然是歐幾里得的杰作，其中收錄不少前人的理論和證明，但在其基礎(chǔ)上，歐幾里得的工作更是開拓性的。他把整本《幾何原本》架設(shè)在23條定義、5條公設(shè)、5條公理上，而其中最神奇的一點(diǎn)在于，他把「平行線公設(shè)」作為公設(shè)來對待，而不是定理。
一條直線與兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩內(nèi)角之和小于兩直角之和，則這兩條直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)相交。
再來看下5條公理，前三條讓我想到了群論
- 與同一事物相等的事物，彼此也?相等。
- 等量加等量，其和仍相等。
- 等量減等量，其差仍相等。
- 彼此能重合的事物是全等的。
- 整體大于部分。
之后對于勾股定理的證明，是全等三角形的完美應(yīng)用，當(dāng)然，輔助線做得真是漂亮??！
數(shù)論方面，GCD自然不用說，非常經(jīng)典。素?cái)?shù)存在無數(shù)個(gè)的證明，也是簡單睿智！
阿基米德
阿基米德在物理上的浮力定理，中學(xué)都學(xué)過。不知道的是，他在給出圓面積的計(jì)算公式上，也有很神奇的思路。他用圓的內(nèi)接和外接正多邊形來夾圓的面積，最終如果多邊形的邊無限多，則內(nèi)接和外接多邊形的面積都等于 C * r，因而圓的面積也就是 S = C * r。
而對于圓周和直徑的比例關(guān)系，阿基米德依然選擇從正六邊形出發(fā) ，最終在96邊形處，求出了一個(gè)pi的近似值。
海倫
通過三角形的三個(gè)邊的邊長，來獲得三角形的面積。記得高中時(shí)候肯定是知道這個(gè)公式的，但重新來看證明方法，還是不得不感嘆，這真是利用相似三角形和比例的牛逼證明。
h = (a + b + c) / 2
S = [h * (h - a) * (h - b) * (h -c)] ^ 0.5
卡爾達(dá)諾
愛賭博的卡爾達(dá)諾，和他的徒弟費(fèi)拉里，共同解決了實(shí)系數(shù)一元三次方程和四次方程的通用解，也是因?yàn)樗麄冋也坏轿宕畏匠痰耐ㄓ媒猓庞辛撕髞淼膬晌惶觳?Abel 和 Galois。
牛頓
牛頓，廣為人知的牛頓，在數(shù)學(xué)方面至少有兩點(diǎn)貢獻(xiàn)是相當(dāng)卓越的。
- 二項(xiàng)式定理
- 微積分 => pi值的精確計(jì)算
值得記錄的一點(diǎn)是，牛頓最多產(chǎn)的那兩年，正好是他因?yàn)橛鴩鯊?fù)辟而躲回家鄉(xiāng)的兩年。而在他晚年，更多的是在倫敦皇家學(xué)會(huì)里任公職。但即使在晚年，他依然只用了一個(gè)晚上，就解出了伯努利的最速降曲線問題。
而由于他就讀的是三一學(xué)院，他還對《圣經(jīng)》做過很多分析，包括先知的年代和約柜的尺寸。不過據(jù)說他的研究，不支持耶穌是三位一體中的一元。
伯努利
伯努利是兩兄弟，是從萊布尼茲，也就是和牛頓共同創(chuàng)立微積分的這位。
萊布尼茲解出了三角形數(shù)的級數(shù)，伯努利兄弟發(fā)現(xiàn)調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的。
值得注意的是，高斯師從約翰 伯努利。
調(diào)和級數(shù)，harmonic series，名字來源于音樂理論中的泛音列，即泛音的頻率是根音的2倍，3倍，4倍... 。對應(yīng)的，振動(dòng)弦的長度是原始長度的 1/2, 1/3, 1/4...。
歐拉
數(shù)學(xué)界的巨巨，在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都有歐拉定理，歐拉公式。
1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... = pi^2 / 6
這個(gè)級數(shù)的計(jì)算簡直驚為天人，多強(qiáng)的悟性和直覺才能把他和 sinx / x 的泰勒展開式關(guān)聯(lián)起來，然后再根據(jù)解析幾何里的根，把 sinx / x 分解成多個(gè) ( 1 - nx) 的表達(dá)式，然后再相乘展開。
Sigh... 真天才！
目前看到過的其他歐拉相關(guān)的公式還有：
- 數(shù)論
a ^ ( fi(p) ）= 1 (mod p)
- 圖論
F + V - E = 2
- 復(fù)分析
e ^ (pi * i) = -1
康托
之前看過一點(diǎn)集合論，所以對康托已經(jīng)有了些認(rèn)識，知道了康托在無限上的研究，知道了無線也是分大小的，也看到了如何從空集開始構(gòu)建整個(gè)數(shù)的體系，自然數(shù)，實(shí)數(shù)。暗暗佩服他們的抽象能力。
也看到了羅素悖論后，ZFC公理集合論，感受到了公理在數(shù)學(xué)體系中的重要性，之后這塊還要繼續(xù)深入學(xué)些，希望能學(xué)扎實(shí)了。
說實(shí)話，集合論和抽象代數(shù)里的東西，都急不得，因?yàn)榛径际窃诶斫鉃槭裁匆獦?gòu)建概念的基礎(chǔ)上，再學(xué)著證明整個(gè)體系里的定律，很少有計(jì)算，主要都在于理解，對照，關(guān)聯(lián)。
總結(jié)一句
這是一本非常好的數(shù)學(xué)科普讀物，能在其中看到3前年來，人類是一步一步建造數(shù)學(xué)金字塔的，而那些最牛逼的能工巧匠和天才們又是在什么樣的社會(huì)環(huán)境和知識氛圍中創(chuàng)造出了一磚一瓦。說實(shí)話，除了歐幾里得那塊的幾何證明有些看著反饋，其他的推理計(jì)算都還是非常精彩的。
此書值得一讀。
待繼續(xù)學(xué)習(xí)
- 完全數(shù)
- 擺線
- 二項(xiàng)式定理
- 各種級數(shù)
- 球的體積公式，怎么來的？
