線性相關(guān)性總結(jié)

前言：線性代數(shù)的另一大重點

0X00 基本定義

假設(shè)有 \alpha_1, \alpha_2\cdots \alpha_s \in R^n（有 s 個 n 維空間的向量）

考察 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots k_s\alpha_s = 0

若只有 k_1 = k_2 =\cdots= k_s = 0 時上述式子才成立，那么稱這 s 個向量線性無關(guān)

舉個例子，判斷 \alpha_1 = \left[\begin{matrix}1\\2\\3\\\end{matrix}\right], \alpha_2 = \left[\begin{matrix}4\\5\\6\\\end{matrix}\right] 是否線性相關(guān)：

按照定義我們寫出：k_1\left[\begin{matrix}1\\2\\3\\\end{matrix}\right] + k_2 \left[\begin{matrix}4\\5\\6\\\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right]

所以我們有方程：\left\{\begin{matrix} k_1& + & 4k_2 & = & 0\\ 2k_1& + & 5k_2 & = & 0\\ 3k_1& + & 6k_2 & = & 0\\ \end{matrix}\right.

得到行最簡形：A= \left[\begin{matrix}1&4\\0&1\\0&0\end{matrix}\right]

此時 R(A) = 2 = n(未知元個數(shù))

所以只有 0 解，所以他們線性無關(guān)

0X01 線性相關(guān)的具體意義

  • 線性相關(guān)：至少有一個向量可由其余向量線性表示
  • 線性無關(guān)：每一個向量都不能被其余向量線性表示

解齊次線性方程組 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots k_s\alpha_s = 0：

  • 線性相關(guān) \Leftrightarrow 方程存在非零解（無窮解）\Leftrightarrow R(\alpha_1, \alpha_2,\cdots,\alpha_s) < s
  • 線性無關(guān) \Leftrightarrow 方程只存在零解\Leftrightarrow R(\alpha_1, \alpha_2,\cdots,\alpha_s) = s

0X02 現(xiàn)討論一特殊情況

假設(shè)有 \alpha_1, \alpha_2\cdots \alpha_n \in R^n（有 n 個 n 維空間的向量）

  • 線性相關(guān) \Leftrightarrow R(\alpha_1, \alpha_2,\cdots,\alpha_s) < n \Leftrightarrow |\alpha_1,\cdots,\alpha_n| = 0
  • 線性無關(guān) \Leftrightarrow R(\alpha_1, \alpha_2,\cdots,\alpha_s) = n \Leftrightarrow |\alpha_1,\cdots,\alpha_n| \neq 0

我們有以下推論：

  • 低維無關(guān) \Rightarrow 高維無關(guān)

  • 高維相關(guān) \Rightarrow 低維相關(guān)

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