專(zhuān)題：同時(shí)合同對(duì)角化

例題

例2.1（曲阜師大07）若A，B均為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且A正定，則存在可逆矩陣T使得A=T^{T} T, B=T^{T} \operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right) T或T^{T} A T=E, T^{T} B T=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right)其中\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}為|\lambda A-B|=0的n個(gè)實(shí)根。并且若B正定，則\lambda_{i}>0, i=1, \cdots, n
例3.15設(shè)A，B均為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，且A正定，證明A-B半正定的充要條件為BA^{-1}的特征值小于等于1.
例3.21（南京大學(xué)08）設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，\operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i}稱(chēng)為矩陣的跡。
（1）證明相似變換下矩陣的跡不變.
（2）設(shè)A，B為對(duì)稱(chēng)半正定矩陣，證明Tr（AB）≥0.
（3）設(shè)A，B為對(duì)稱(chēng)半正定矩陣，且Tr（AB）=0.則AB=0.
例3.24（中科院05）證明函數(shù)logdet（.）在對(duì)稱(chēng)正定矩陣集上是凹函數(shù)，即對(duì)于任意兩個(gè)n階對(duì)稱(chēng)正定陣A，B及\forall \lambda \in[0,1]有
\log \operatorname{det}(\lambda A+(1-\lambda) B) \geq \lambda \log \operatorname{det}(A)+(1-\lambda) \log \operatorname{det}(B)
其中logdet（A）表示先對(duì)A取行列式再取自然對(duì)數(shù).
例3.28如果M_1，M_2是n階正定矩陣，則\frac{2^{n+1}}{\left|M_{1}+M_{2}\right|} \leq \frac{1}{\left|M_{1}\right|}+\frac{1}{\left|M_{2}\right|}
且等號(hào)成立的充要條件為M_1=M_2.

參考文獻(xiàn)

http://www.52gd.org/?p=146

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