高等代數(shù)理論基礎(chǔ)18：Cramer法則

Cramer法則

Cramer法則

定理：若線(xiàn)性方程組\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\end{cases}的系數(shù)矩陣A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}的行列式,即系數(shù)行列式d=|A|\neq 0,則線(xiàn)性方程組有且僅有唯一解,且解可通過(guò)系數(shù)表為

x_1={d_1\over d},x_2={d_2\over d},\cdots,x_n={d_n\over d}

其中d_j是把矩陣A中第j列換成方程組的常數(shù)項(xiàng)b_1,b_2,\cdots,b_n所成矩陣的行列式,即

d_j=A=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&\cdots&a_{2,j-1}&b_2&a_{2,j+1}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&b_n&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}

j=1,2,\cdots,n

證明：

把方程組簡(jiǎn)寫(xiě)為\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_j=b_i,i=1,2,\cdots,n

下證x_1={d_1\over d},x_2={d_2\over d},\cdots,x_n={d_n\over d}是方程組的解

代入第i個(gè)方程可得左端為

\sum\limits_{j=1}^na_{ij}{d_j\over d}={1\over d}\sum\limits_{j=1}^na_{ij}d_j

\because d_j=b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+\cdots+b_nA_{nj}=\sum\limits_{s=1}^nb_sA_{sj}

\therefore {1\over d}\sum\limits_{j=1}^na_{ij}d_j={1\over d}\sum\limits_{j=1}^na_{ij}\sum\limits_{s=1}^nb_sA_{sj}

={1\over d}\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{s=1}^na_{ij}A_{sj}b_s

={1\over d}\sum\limits_{s=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}A_{sj}b_s

={1\over d}\sum\limits_{s=1}^n(\sum\limits_{j=1}^na_{ij}A_{sj})b_s

={1\over d}\cdot db_i=b_i

與第i個(gè)方程右端一致

即代入后方程同時(shí)變成恒等式

\therefore 為方程組的解

設(shè)(c_1,c_2,\cdots,c_n)是方程組的一個(gè)解

\therefore 有n個(gè)恒等式

\sum\limits_{j=1}^na_{ij}c_j=b_i,i=1,\cdots,n

下證c_k={d_k\over d}

取系數(shù)矩陣中第k列元素的代數(shù)余子式

A_{1k},A_{2k},\cdots,A_{nk}

A_{ik}\sum\limits_{j=1}^na_{ij}c_j=b_iA_{ik},i=1,\cdots,n

\therefore \sum\limits_{i=1}^nA_{ik}\sum\limits_{j=1}^na_{ij}c_j=\sum\limits_{i=1}^nb_iA_{ik}

等式右端等于行列式d按第k列展開(kāi)式中把a(bǔ)_{ik}分別換成b_i(i=1,2,\cdots,n)

\therefore 右端等于d_k

左端=\sum\limits_{i=1}^nA_{ik}\sum\limits_{j=1}^na_{ij}c_j

=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}A_{ik}c_j

=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=1}^na_{ij}A_{ik}c_j

=\sum\limits_{j=1}^n(\sum\limits_{i=1}^na_{ij}A_{ik})c_j

=dc_k

\therefore dc_k=d_k,k=1,2,\cdots,n

即c_k={d_k\over d},k=1,2,\cdots,n

\therefore 若(c_1,c_2,\cdots,c_n)是方程組的一個(gè)解

則必為({d_1\over d},{d_2\over d},\cdots,{d_n\over d})

\therefore 方程組最多有一組解\qquad\mathcal{Q.E.D}

齊次線(xiàn)性方程組

定義：常數(shù)項(xiàng)全為零的線(xiàn)性方程組稱(chēng)為齊次線(xiàn)性方程組

注：齊次線(xiàn)性方程組總是有解的,(0,0,\cdots,0)就是一個(gè)解,稱(chēng)為零解,此外為非零解

定理：若齊次線(xiàn)性方程組\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=0\end{cases}的系數(shù)矩陣的行列式|A|\neq 0,則它只有零解,若方程組有非零解,則|A|=0

證明：

由Cramer法則

\because 行列式d_j中由一列為零

\therefore d_j=0,j=1,2,\cdots,n

即,它的唯一解是({d_1\over d},{d_2\over d},\cdots,{d_n\over d})=(0,0,\cdots,0)\qquad\mathcal{Q.E.D}

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