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參考書目為安德森的《商務(wù)與經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)》，以下為個人的學(xué)習(xí)總結(jié)，如果有錯誤歡迎指正。有需要本書pdf的，鏈接在本文末尾。（僅限個人學(xué)習(xí)使用，請勿牟利）

第十五章多元回歸

15.1 多元回歸模型

用p表示自變量的數(shù)目。

15.1.1 回歸模型和回歸方程

多元回歸模型：
$y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots +\beta_px_p+\epsilon$

多元回歸方程：
$E(y)=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots +\beta_px_p$

15.1.2 估計(jì)的多元回歸方程

估計(jì)的多元回歸方程：
$\hat y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+\cdots +b_px_p$

15.2 最小二乘法

最小二乘法準(zhǔn)則：
$min\sum(y_i-\hat y_i)^2$
通過讓殘差的平方和達(dá)到最小，求得 $b_0$ , $b_1$ , $\cdots$ , $b_p$ ，這些值很難計(jì)算（涉及矩陣代數(shù)），所以我們只需要會用計(jì)算機(jī)算就可以了。

15.2.1 一個例子：Butler運(yùn)輸公司

Butler運(yùn)輸公司管理人員想估計(jì)司機(jī)每天的行駛時間。

image

通過散點(diǎn)圖的觀察，我們可以先用簡單線性回歸模型來描述每天行駛的時間(y)和每天行駛的里程(x)之間的關(guān)系。利用計(jì)算機(jī)得出： $\hat y=1.27+0.0678x_1$
其中F為15.81，對應(yīng)的p-值為0.004<0.05，所以我們拒絕原假設(shè) $H_0:\beta_1=0$ 。這是一個不錯的結(jié)果，但是管理人員希望考慮第二個自變量去解釋應(yīng)變量中剩余的變異性。

管理人員把運(yùn)送貨物的次數(shù)( $x_2$ )加入到自變量。得到回歸方程 $\hat y=-0.869+0.0611x_1+0.923x_2$

image

15.2.2 關(guān)于回歸系數(shù)解釋的注釋

簡單線性回歸：我們把 $b_j$ 看作是當(dāng)自變量變化1個單位時，應(yīng)變量y變化程度的一個估計(jì)。
多元回歸分析：當(dāng)所有其它自變量保持不變， $b_j$ 可以看作對應(yīng) $x_j$ 變化1個單位時，應(yīng)變量y變化程度的一個估計(jì)。

15.3 多元判定系數(shù)

$SST=\sum(y_i-\bar y)^2$ 總的平方和
$SSR=\sum(\hat y_i-\bar y)^2$ 回歸平方和
$SSE=\sum(y_i-\hat y_i)^2$

關(guān)系： $SST=SSR+SSE$
上述的計(jì)算很困難，我們可以使用計(jì)算機(jī)得到。

自變量個數(shù)	SST	SSR	SSE
一個	23.9	15.871	8.029
兩個	23.9	21.601	2.299

可以看到不同自變量下，兩個自變量在SSR中貢獻(xiàn)更多，得到了更好的擬合。

多元判定系數(shù)：
$R^2=\frac{SSR}{SST}$
理解：應(yīng)變量y中的變異性能被估計(jì)的多元回歸方程解釋的比例。

這個判定系數(shù)可以再上圖計(jì)算機(jī)的結(jié)果中，看R-Sq，修正后的為R-Sq(adj)（sq為平方，adj為adjust修正后的）

由于自變量個數(shù)增加，判定系數(shù)也會增加，我們使用下面的方法來修正。
修正多元判定系數(shù)
$R_A^2=1-(1-R^2)\frac{n-1}{n-p-1}$ （p為自變量數(shù)目，n為觀測值數(shù)目）

當(dāng) $R^2$ 數(shù)值比較小，而模型的自變量數(shù)目多，則修正后可能變負(fù)數(shù)。這個時候Minitab會調(diào)整為0.

15.4 模型的假定

關(guān)于多元回歸模型 $y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots +\beta_px_p+\epsilon$ 的誤差項(xiàng) $\epsilon$ 的假定：

誤差項(xiàng) $E(\epsilon)=0$ ， $E(y)$ 是給定所有自變量后的所有可能出現(xiàn)的值的期望。
對于自變量 $x_1$ , $x_2$ , $\cdots$ , $x_p$ 的所有值， $\epsilon$ 的方差( $\sigma^2$ )都是相同的。
$\epsilon$ 是相互獨(dú)立的，對于自變量 $x_1$ , $x_2$ , $\cdots$ , $x_p$ 的一組特定值對應(yīng)一個誤差項(xiàng) $\epsilon$ 。
誤差項(xiàng) $\epsilon$ 服從正態(tài)分布，這就意味著模型中 $y=\hat y+\epsilon$ 由于 $\hat y$ 預(yù)測值在一組自變量下是一定的， $\epsilon$ 服從正態(tài)分布，那么y的真實(shí)值也是服從正態(tài)分布的。

舉例： $E(y)=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2$

image

E(y)

是一個平面，叫響應(yīng)曲面。
響應(yīng)變量=應(yīng)變量

15.5 顯著性檢驗(yàn)

在簡單線性回歸中t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)在原假設(shè)被拒絕時給出同樣的結(jié)論，即 $\beta_1 \neq 0$ 。而在多元回歸中。

F檢驗(yàn)用于確定應(yīng)變量和所有自變量之間是否存在一個顯著性關(guān)系，稱作總體的顯著性檢驗(yàn)。
如果F檢驗(yàn)顯示模型總體的顯著性，那么用t檢驗(yàn)來確定每單個自變量是否為一個顯著的自變量。稱作單個的顯著性檢驗(yàn)。

15.5.1 F檢驗(yàn)

F檢驗(yàn)的假設(shè)： $H_0:\beta_1=\beta_2=\cdots=\beta_p=0$ , $H_a:$ 至少有一個參數(shù)不為0

概念回憶：均方= $\frac{平方和}{自由度}$
自由度：總平方和n-1，回歸平方和SSR為p個自由度，誤差平方和SSE為n-p-1個自由度。
因此：均方回歸 $MSR=\frac{SSR}{p}$ ，均方誤差 $MSE=\frac{SSE}{n-p-1}$
其中MSE給出了誤差項(xiàng) $\epsilon$ 方差 $\sigma^2$ 的無偏估計(jì)量。如果 $H_0$ 成立，MSR也會給出 $\sigma^2$ 的無偏估計(jì)量。但如果拒絕 $H_0$ 則MSR會高估 $\sigma^2$ 。

總體顯著性的F檢驗(yàn)：

假設(shè)： $H_0:\beta_1=\beta_2=\cdots=\beta_p=0$ , $H_a:$ 至少有一個參數(shù)不為0
檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： $F=\frac{MSR}{MSE}$
拒絕法則：
- p-值法：如果p-值 $\leq \alpha$ ,則拒絕 $H_0$
- 臨界值法：如果 $F \geq F_{\alpha}$ ，則拒絕 $H_0$
  其中， $F_{\alpha}$ 代表分子自由度為p，分母自由度為n-p-1時，F(xiàn)分布上側(cè)面積為 $\alpha$ 的F值。

回到Butler公司的案例，利用Minitab計(jì)算出 $F=\frac{MSR}{MSE}=\frac{10.8}{0.328}=32.9$

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計(jì)算得到F=32.9，分子分母自由度分別為2和7。的上側(cè)面積小于0.01，則我們拒絕 $H_0$ 。同樣的臨界值法算出上側(cè)面積為0.01的F=9.55，也可以得到同樣的結(jié)論。

MSE是對 $\epsilon$ 方差( $\sigma^2$ )的無偏估計(jì)。則 $s=\sqrt{MSE}=0.573$ （Butler公司案例）

一般的方差分析表（ANOVA）：

image

15.5.2 t檢驗(yàn)

t檢驗(yàn)幫助我們確定每一個參數(shù)的顯著性。
單個參數(shù)顯著性的t檢驗(yàn)：

對任一個參數(shù) $\beta_i$ 的假設(shè)： $H_0:\beta_i=0$ , $H_a:\beta_i \neq 0$
檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： $t=\frac{b_i}{s_{b_i}}$
拒絕法則：
- p-值法：如果p-值 $\leq \alpha$ ，則拒絕 $H_0$
- 臨界值法：如果 $t\leq -t_{\alpha/2}$ 或者 $t\geq t_{\alpha/2}$ ，則拒絕 $H_0$

其中， $t_{\alpha/2}$ 是自由度為n-p-1時，使t分布的上側(cè)面積為 $\alpha/2$ 的t值。（要看t值的正負(fù)）

回到Butler公司，求得 $b_1=0.061135$ , $s_{b_1}0.009888$ ， $b_2=0.9234$ , $s_{b_2}=0.2211$
計(jì)算得到t分別為6.18和4.18。對應(yīng)p-值為0.000和0.004（p值是由單側(cè)面積乘2得到）。則我們拒絕兩個 $H_0$ ，認(rèn)為兩個參數(shù)都是顯著的。
當(dāng)然也可以用臨界值法。

15.5.3 多重共線性

在多元回歸分析中，往往自變量和自變量也存在聯(lián)系，比如當(dāng)我們計(jì)算行駛里程( $x_1$ )和運(yùn)送次數(shù)( $x_2$ )的相關(guān)系數(shù) $r_{x_1x_2}=0.16$ 。我們把自變量之間的相關(guān)性稱為多重共線性。

當(dāng)我們把自變量變?yōu)椋盒旭偫锍? $x_1$ )和油耗( $x_2$ )?？赡茉趖檢驗(yàn)中出現(xiàn)不能拒絕 $H_0:\beta_1=0$ 。這可能是因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=x_2" alt="x_2" mathimg="1">已經(jīng)在模型里了，導(dǎo)致 $x_1$ 不再有顯著呃貢獻(xiàn)。

綜上所述：當(dāng)總體顯著性的F檢驗(yàn)表明有顯著關(guān)系時，可能得到單個參數(shù)沒有一個是顯著的不等于0。只有當(dāng)自變量之間的相關(guān)性非常小才能回避這個問題。

經(jīng)驗(yàn)：當(dāng)相關(guān)系數(shù)絕對值>0.7，多重共線性可能稱為一個潛在的問題。

15.6 應(yīng)用估計(jì)的回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測

在14章說明了，對于給定的自變量，y的期望值的點(diǎn)估計(jì)和y的一個個別值得點(diǎn)估計(jì)都是 $\hat y=b_0+b_1x$ ，在多元回歸分析中同樣如此。

問題：

對所有運(yùn)貨汽車，行駛100英里，運(yùn)送2次的情況下，求汽車平均行駛時間的置信區(qū)間。
對特定運(yùn)貨汽車，行駛100英里，運(yùn)送2次的情況下，求汽車行駛時間的預(yù)測區(qū)間。

利用估計(jì)的回歸方程 $\hat y=-0.869+0.0611x_1+0.923x_2$ 計(jì)算得到在 $x_1=100$ , $x_2=2$ 時， $\hat y=7.09$ 。后續(xù)的計(jì)算用計(jì)算機(jī)軟件即可，下圖時Minitab的示例：

image

注意：預(yù)測區(qū)間往往比置信區(qū)間的范圍更大。也就是說預(yù)測的精準(zhǔn)度相比更低。

15.7 分類自變量

15.7.1 一個例子：約翰遜過濾股份公司

我們希望預(yù)測客戶提出水過濾系統(tǒng)的維修時間。

應(yīng)變量：維修時間
自變量：上次維修到這次保修的時間差( $x_1$ )，故障類型( $x_2$ )

我們利用預(yù)測的回歸模型： $y=\beta_0+\beta_1x_1+\epsilon$ 算出 $x_1$ 和y的簡單線性回歸。發(fā)現(xiàn)R-sq=53.4%表明 $x_1$ 只能解釋維修時間變異性的53.4%。

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我們引入自變量

x_2=\begin{cases}0,& 如果故障維修類型是機(jī)械的\\1, &如果故障維修類型是電子的 \end{cases}

在回歸分析中，

x_2

是虛擬變量或指標(biāo)變量。
我們把多元回歸模型寫成：

y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\epsilon

利用Minitab計(jì)算得到 $\hat y=0.93+0.388x_1+1.26x_2$

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在0.05的顯著水平下，p-值為0.001，我們認(rèn)為回歸關(guān)系是顯著的。

15.7.2 解釋參數(shù)

當(dāng)已知機(jī)械故障類型時，可以分別計(jì)算兩個預(yù)測的回歸方程：

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15.7.3 更復(fù)雜的分類變量

當(dāng)分類變量有k個水平，則需要定義k-1個虛擬變量。每個虛擬變量只能為0或1。
舉例：復(fù)印機(jī)制造商的銷售數(shù)量

應(yīng)變量：銷售數(shù)量
自變量：銷售地區(qū)（A、B、C），

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設(shè)置方式，全為0代表一個分類，其中僅有一個為1代表一個分類。這樣k個分類，剛好需要k-1個虛擬變量。
對應(yīng)的回歸方程如下：

image

總結(jié)：分類變量對于線性回歸相當(dāng)于時同一斜率下，上下平移一定舉例。

15.8 殘差分析

第i次觀測的標(biāo)準(zhǔn)化殘差： $\frac{y_i-\hat y_i}{s_{y_i-\hat y_i}}$ （分母為殘差的標(biāo)準(zhǔn)差）
第i次觀測的殘差的標(biāo)準(zhǔn)差： $s_{y_i-\hat y_i}=s\sqrt{1-h_i}$ （ $h_i$ 代表第i次觀測的杠桿率）

利用計(jì)算機(jī)我們可以輕松計(jì)算：

image

圖中反映的標(biāo)準(zhǔn)化殘差都在 $\pm 2$ 之間，因此沒有理由懷疑誤差項(xiàng) $\epsilon$ 是正態(tài)分布的假定。
當(dāng)然也可以用正態(tài)概率圖。

15.8.1 檢測異常值

一般來說，如果數(shù)據(jù)集存在一個或以上的異常值，將導(dǎo)致估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差s增加。從而使得第i次觀測的殘差的標(biāo)準(zhǔn)差 $s_{y_i-\hat y_i}$ 增加。這就導(dǎo)致在標(biāo)準(zhǔn)化殘差中分母變大，讓原本大于2的值小于2了。那么這個標(biāo)準(zhǔn)化殘差規(guī)則就失效了。
我們可以用學(xué)生化刪除殘差的標(biāo)準(zhǔn)化殘差，來解決這個問題。

15.8.2 學(xué)生化刪除殘差和異常值

設(shè) $s_{(i)}$ 表示從數(shù)據(jù)集中刪除了第i次觀測值后得到的估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差。如果我們用 $s_{(i)}$ 代替 $s_{y_i-\hat y_i}=s\sqrt{1-h_i}$ 中的 $s$ ，這樣的到的標(biāo)準(zhǔn)化殘差稱為學(xué)生化刪除殘差如果第i次觀測是異常值，那么 $s_{(i)}$ 將小于 $s$ 。所以第i次觀測的學(xué)生化刪除殘差的絕對值大于標(biāo)準(zhǔn)化殘差的絕對值。也就是說，學(xué)生化刪除殘差可以檢測出標(biāo)準(zhǔn)化殘差不能檢測出的異常值。

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我們利用t分布來確定學(xué)生化刪除殘差是否表明存在異常值。p表示自變量個數(shù)，n表示觀測值個數(shù)。此時，誤差平方和自由度為 $(n-1)-p-1=6$ 在自由度為6雙側(cè)分位數(shù) $t_{0.025}=2.447$
當(dāng)有學(xué)生化刪除殘差的絕對值大于2.447即為異常值，本表中顯示無異常值。

15.8.3 有影響的觀測值

前面講到如何利用杠桿率來識別有影響的觀測值。也可以用經(jīng)驗(yàn)法則： $h_i>3(p+1)/n$ 來識別有影響的觀測值。

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15.8.4 利用庫克舉例測度識別有影響的觀測值

如圖所示，最后一個觀測值的杠桿率0.91>0.75(杠桿率的臨界值)，所以這個觀測值被識別出來是一個有影響的觀測值。

image

但是我們看到散點(diǎn)圖，在圖中兩個回歸方程沒有明顯區(qū)別。盡管杠桿率認(rèn)為最后一個是異常值。

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庫克距離測度，利用第i次觀測的杠桿率 $h_1$ 和第i次觀測的殘差 $(y_i-\hat y_i)$ 來確定這個觀測值是否是一個有影響的觀測值。
$D_i=\frac{(y_i-\hat y_i)^2}{(p+1)s^2}\left[\frac{h_i}{(1-h_i)^2}\right]$
其中，p代表自變量個數(shù)，s代表估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差。

經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)則： $D_i>1$ 時，表明第i次觀測值是一個有影響的觀測值。

15.9 logistic 回歸

例子：銀行希望建立一個估計(jì)回歸方程，符合條件的信用卡申請用戶應(yīng)變量y=1，拒絕批準(zhǔn)的y=0。利用logistic回歸就能估計(jì)批準(zhǔn)使用的信用卡的概率。

例子：Simmons經(jīng)營的婦女服飾連鎖店，想通過郵寄廣告冊（內(nèi)含滿200-50的優(yōu)惠券）的方式來增加銷量。但是廣告冊成本高，所以想通過下面兩個變量來判斷顧客是否會消費(fèi)200及以上的金額。

在Simmons的年消費(fèi)支出
是否有Simmons信用卡

現(xiàn)在抽取樣本容量n=100，其中有信用卡和無信用卡的各占50.優(yōu)惠券如果被使用，賦值為1，否則為0。

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15.9.1 logistic回歸方程

logistic回歸方程：
$E(y)=\frac{e^{\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_px_p}}{1+e^{\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_px_p}}$

logistic回歸中 $E(y)$ 被解釋為概率：
$E(y)=P(y=1|x_1,x_2,\cdots,x_p)$

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15.9.2 估計(jì)logistic回歸方程

估計(jì)的logistic回歸方程：
$\hat y=P(y=1|x_1,x_2,\cdots,x_p)的估計(jì)=\frac{e^{b_0+b_1x_1+b_2x_2+\cdots+b_px_p}}{1+e^{b_0+b_1x_1+b_2x_2+\cdots+b_px_p}}$

回到Simmons商店的例子：

image

利用Minitab的二進(jìn)制logistic回歸程序計(jì)算模型參數(shù)

\beta_0,\beta_1,\beta_2

的估計(jì)值。對應(yīng)

b_0=-2.15,b_1=0.34,b_2=1.10

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然后就可以使用公式判斷特定的一組自變量(

x_1,x_2

)使用優(yōu)惠券的概率了。

15.9.3 顯著性檢驗(yàn)

總體顯著性檢驗(yàn)
- 假設(shè)： $H_0:\beta_1=\beta_2=0$ , $H_a:$ 至少有一個參數(shù)不等于零
- 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：G檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從自由度為模型中自變量個數(shù)的 $\chi^2$ 分布。（圖15-13底部）
單個自變量顯著性檢驗(yàn)：
- 假設(shè)： $H_0:\beta_1=0$ , $\beta_1 \neq 0$
- 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： $z_i=b_i/s_{b_i}$ （服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）（圖15-13中間的spending和card，兩個p-值都小于0.05）

15.9.4 管理上的應(yīng)用

算出不同自變量組合的概率，如下圖

image

篩選出合適的概率進(jìn)行郵遞廣告冊即可。

15.9.5 解釋logistic回歸方程

由于自變量與y=1是非線性方程，但可以利用機(jī)會比率的概念間接解釋這個關(guān)系。
有利于一個時間發(fā)生的機(jī)會比( $=\frac{P(y=1)}{P(y=0)}$ )：被定義為事件將要發(fā)生的概率與該事件將不會發(fā)生的概率的比。
機(jī)會比率：度量了當(dāng)一組自變量中只有一個自變量增加了一個單位時，對機(jī)會比的影響。
$機(jī)會比率=\frac{odds_1}{odds_0}$
其中 $odds_1$ 是該組自變量的一個增加了一個單位時，y=1的機(jī)會比( $odds_1$ )除以沒有變化時y=1的機(jī)會比( $odds_0$ )。

回到Simmons的例子，信用卡顧客年消費(fèi)2000美元( $x_1=2,x_2=1$ ),無信用卡顧客年消費(fèi)2000美元( $x_1=2,x_2=0$ )。
對應(yīng)的 $odds_1點(diǎn)估計(jì)值=\frac{P(y=1|x_1=2,x_2=1)}{1-P(y=1|x_1=2,x_2=1)}=0.6946$ , $odds_0的點(diǎn)估計(jì)值=\frac{P(y=1|x_1=2,x_2=0)}{1-P(y=1|x_1=2,x_2=0)}=0.2315$ ;則估計(jì)的機(jī)會比率 $=\frac{0.6946}{0.2315}=3.00$
結(jié)論：前一個顧客使用優(yōu)惠券的機(jī)會比是后一個顧客使用消費(fèi)券的機(jī)會的3倍。（不代表y的值是3倍。）

我們回到下圖，看到Odds Ratio對于spending和card分別是1.41和3.00

image

spending的1.41表示3000美元的顧客使用優(yōu)惠券的機(jī)會比是消費(fèi)2000美元的顧客使用消費(fèi)券的機(jī)會比的1.41倍。同理4000是3000的1.41倍。
card的3.00表示有信用卡的顧客使用優(yōu)惠券的機(jī)會比是無信用卡的顧客使用優(yōu)惠券的機(jī)會比的3倍。
上述都是針對自變量增加1個單位的機(jī)會比變化。每個自變量都能寫成： $機(jī)會比率=e^{\beta_1}$
那么：
- 估計(jì)的機(jī)會比率 $=e^{b_1}=e^{0.341643}=1.41$
- 估計(jì)的機(jī)會比率 $=e^{b_1}=e^{1.09873}=3$

那么現(xiàn)在我們就可以求得消費(fèi)5000美元顧客使用優(yōu)惠券的概率是2000美元顧客使用優(yōu)惠券概率的倍數(shù)。
- c=5-2=3
- $e^{c\beta_1}=e^{3 \times 0.341643}=e^{1.0249}=2.79$
則消費(fèi)5000美元顧客使用優(yōu)惠券的概率是2000美元顧客使用優(yōu)惠券概率的2.79倍。

一般來說軟件還會給出機(jī)會比率的95%的置信區(qū)間。且機(jī)會比率大于1，說明自變量增加對結(jié)果是正影響。

15.9.6 對數(shù)機(jī)會比（logit）變換

對數(shù)機(jī)會比： $g(x_1,x_2,\cdots,x_p)=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_px_p$
估計(jì)的對數(shù)機(jī)會比： $\hat g(x_1,x_2,\cdots,x_p)=b_0+b_1x_1+b_2x_2+\cdots+b_px_p$

估計(jì)的logistic回歸方程： $\hat y=\frac{e^{\hat g(x_1,x_2,\cdots,x_p)}}{1+e^{\hat g(x_1,x_2,\cdots,x_p)}}$

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第十五章多元回歸

第十五章多元回歸

第十五章多元回歸

15.1 多元回歸模型

15.1.1 回歸模型和回歸方程

15.1.2 估計(jì)的多元回歸方程

15.2 最小二乘法

15.2.1 一個例子：Butler運(yùn)輸公司

15.2.2 關(guān)于回歸系數(shù)解釋的注釋

15.3 多元判定系數(shù)

15.4 模型的假定

15.5 顯著性檢驗(yàn)

15.5.1 F檢驗(yàn)

15.5.2 t檢驗(yàn)

15.5.3 多重共線性

15.6 應(yīng)用估計(jì)的回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測

15.7 分類自變量

15.7.1 一個例子：約翰遜過濾股份公司

15.7.2 解釋參數(shù)

15.7.3 更復(fù)雜的分類變量

15.8 殘差分析

15.8.1 檢測異常值

15.8.2 學(xué)生化刪除殘差和異常值

15.8.3 有影響的觀測值

15.8.4 利用庫克舉例測度識別有影響的觀測值

15.9 logistic 回歸

15.9.1 logistic回歸方程

15.9.2 估計(jì)logistic回歸方程

15.9.3 顯著性檢驗(yàn)

15.9.4 管理上的應(yīng)用

15.9.5 解釋logistic回歸方程

15.9.6 對數(shù)機(jī)會比（logit）變換

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第十五章 多元回歸

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15.1 多元回歸模型

15.1.1 回歸模型和回歸方程

15.1.2 估計(jì)的多元回歸方程

15.2 最小二乘法

15.2.1 一個例子：Butler運(yùn)輸公司

15.2.2 關(guān)于回歸系數(shù)解釋的注釋

15.3 多元判定系數(shù)

15.4 模型的假定

15.5 顯著性檢驗(yàn)

15.5.1 F檢驗(yàn)

15.5.2 t檢驗(yàn)

15.5.3 多重共線性

15.6 應(yīng)用估計(jì)的回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測

15.7 分類自變量

15.7.1 一個例子：約翰遜過濾股份公司

15.7.2 解釋參數(shù)

15.7.3 更復(fù)雜的分類變量

15.8 殘差分析

15.8.1 檢測異常值

15.8.2 學(xué)生化刪除殘差和異常值

15.8.3 有影響的觀測值

15.8.4 利用庫克舉例測度識別有影響的觀測值

15.9 logistic 回歸

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15.9.2 估計(jì)logistic回歸方程

15.9.3 顯著性檢驗(yàn)

15.9.4 管理上的應(yīng)用

15.9.5 解釋logistic回歸方程

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第十五章多元回歸

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