想到一個好主意，能否將數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域的知識串起來，通過一些簡單應(yīng)用場景。

維度

維度在很多地方出現(xiàn)，基本的是向量空間，接下來是函數(shù)空間，然后是代數(shù)構(gòu)造里面的張量代數(shù)，多項式代數(shù)，還有拓展的微分流形，抽象流形，群的層級結(jié)構(gòu)，分次代數(shù)結(jié)構(gòu)。這里面有個問題，維度和次數(shù)是不是一樣的，維度的代數(shù)性質(zhì)，加法，乘法。整體上構(gòu)成了一種計數(shù)，分類性質(zhì)。所以，遇見所有的涉及計數(shù)和分類的問題，自然的考慮維度構(gòu)造。

連續(xù)

如果說維度本質(zhì)上是離散性質(zhì)，那么連續(xù)是非常經(jīng)典的構(gòu)造。最初就是微積分，然后是拓?fù)洌€有曲線，曲面，流形，以及抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)的完備化與拓?fù)錁?gòu)造。這里的問題可能就是連續(xù)的分類問題，一種是拓?fù)涞暮脡?，這也是連續(xù)性的基礎(chǔ)，一種是邊界問題，畢竟連續(xù)的東西如果無窮大就沒什么意義了。整體上構(gòu)成一種現(xiàn)實的近似，畢竟現(xiàn)實中的事物一般都是平滑過渡的，因此應(yīng)用也是非常廣的。

微分方程

側(cè)重于應(yīng)用，物理方程，化學(xué)方程，許許多多的自然規(guī)律都可以通過微分方程近似，也是非常重要的構(gòu)造。最初是單變量的常微分方程，然后是多變量的偏微分方程，還有從線性方程到非線性方程，這些方程也自然的定義出了函數(shù)類，滿足某種微分方程的函數(shù)集合。其中的問題可能是求解辦法，或者僅僅是解的表示方法，整體上表現(xiàn)一種事物連續(xù)變化的性質(zhì)，幾乎所有的自然現(xiàn)象都可以用它來建模。

概率

對不完備信息的處理，應(yīng)用于各種困難問題，決策，規(guī)劃，預(yù)測，探索。這種構(gòu)造是在雜亂信息中尋求有價值的規(guī)律，信息越豐富，規(guī)律就越可靠。如果遇見非常困難的問題，使用它準(zhǔn)沒錯，可以多提供一些信息，或者多一些合理猜測。整體上是對未知事物的一種近似，所以面對未知的事物，放心使用。

組合

對規(guī)律的簡化，組合數(shù)學(xué)主要關(guān)注于如何確定行為的可能組合數(shù)目，本質(zhì)上就是如何根據(jù)限制條件，簡化搜索空間，所以和概率經(jīng)常結(jié)合使用，構(gòu)成了古典概率的內(nèi)容。還有就是算法，畢竟簡化搜索就是提升效率。

邏輯

邏輯是科學(xué)的堅實基礎(chǔ)，關(guān)注于如何從假設(shè)抵達結(jié)論，所有的數(shù)學(xué)內(nèi)容都是在邏輯的框架下展開的。邏輯表現(xiàn)在推理的合理性，結(jié)果的可靠性，推理系統(tǒng)的完備性，看起來不知如何使用，但是確實保證了操作的合規(guī)，就像程序一樣，無論怎樣操作，都不會導(dǎo)致崩潰。所以，還是非常重要的。建設(shè)完成之后，反而是意識不到了。

映射

映射是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的典型特征，將一個領(lǐng)域的知識直接投射過來，形成新的知識，提出新的問題。這里面的內(nèi)容太豐富了，比如將幾何中的坐標(biāo)系投射到函數(shù)空間中，獲得函數(shù)坐標(biāo)系，這就是正交函數(shù)系的概念，比如將代數(shù)中的群，模，域建立在幾何空間中，獲得幾何體的群，模，域，這就是同調(diào)代數(shù)手段，比如將幾何中的點，線，面，交點等概念應(yīng)用到函數(shù)方程組構(gòu)成的解空間中，獲得解集，公共解集，零點集，這就是代數(shù)幾何的手段。還有將群運算應(yīng)用于幾何變換中，這就是群表示的內(nèi)容。所有的這些都是非常新的觀點，放在古典數(shù)學(xué)中，每一個都將被質(zhì)疑數(shù)十年，然后不得不接受，現(xiàn)在變成了非常自然的想法。

抽象映射

這是真正的前沿，脫離了想象力的極限，通過商結(jié)構(gòu)構(gòu)建相等，或者相似的對象，通過映射結(jié)構(gòu)建立對象的特征量，通過特征量的變換獲得對象的變換，雖然一切都無法想象，但是，可以在邏輯上建立合理的代數(shù)運算體系。這才是純粹數(shù)學(xué)，一個不可實見的東西，僅能從感覺上把握。范疇語言是打開這扇大門的鑰匙。不過，這些東西過于抽象，是缺乏了實體的規(guī)則演繹，即使是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人大概率也是不感興趣的。只是，要解決一些有實體意義的問題，總會面對這樣的數(shù)學(xué)怪物，比如選擇公理，烏雷松引理，不可理解但是非常強大。

插曲

想起了不久之前看到的可描述問題層級，所有的數(shù)學(xué)問題可以按照描述的復(fù)雜度劃分，有限描述問題，一階語言可描述問題，二階語言可描述問題，...n階語言可描述問題，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)問題，大部分是有限描述問題，或者一階語言可描述問題，一部分是二階語言可描述問題，后面的幾乎沒有。所以，數(shù)學(xué)的終點深不可及。假如每一個問題都可以附加一個背景，作為現(xiàn)實意義，那么意義結(jié)構(gòu)的終點也是深不可及。面對這樣的不可達的現(xiàn)實，總會懷疑學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義所在，如果目的是掌握所有，那必然不可能實現(xiàn)，即使目的是了解所有，也是不可能的，從基本規(guī)律上了解所有，其實也是不可能的。所以，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)懷有的任何終極目的其實都是無意義的，只是在眼界狹隘的時候意識不到罷了。那么留下來的就只能是有限目的，解決某一個問題，學(xué)會某一種方法，獲得某種榮譽，得到人們的崇拜，或者過程論，只是樂在其中。若能樂在其中，不為其他所動，無疑是極大的精神享受。