常見(jiàn)時(shí)間復(fù)雜度

f(n)=1時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度為O(1)，可以稱為常數(shù)階。
f(n)=logn時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度為O(logn)，可以稱為對(duì)數(shù)階。
f(n)=n時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度為O(n)，可以稱為線性階。
f(n)=n2時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度為O(n2)，可以稱為平方階。

除了常數(shù)階、線性階、平方階、對(duì)數(shù)階，還有如下時(shí)間復(fù)雜度：

f(n)=nlogn時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn)，可以稱為nlogn階。
f(n)=n3時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度為O(n3)，可以稱為立方階。
f(n)=2?時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度為O(2?)，可以稱為指數(shù)階。
f(n)=n!時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度為O(n!)，可以稱為階乘階。
f(n)=(√n時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度為O(√n)，可以稱為平方根階。

算法的效率

時(shí)間復(fù)雜度：評(píng)估執(zhí)行程序所需的時(shí)間。可以估算出程序?qū)μ幚砥鞯氖褂贸潭取?br> 空間復(fù)雜度：評(píng)估執(zhí)行程序所需的存儲(chǔ)空間?？梢怨浪愠龀绦?qū)τ?jì)算機(jī)內(nèi)存的使用程度。

設(shè)計(jì)算法時(shí)，一般是要先考慮系統(tǒng)環(huán)境，然后權(quán)衡時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度，選取一個(gè)平衡點(diǎn)。不過(guò)，時(shí)間復(fù)雜度要比空間復(fù)雜度更容易產(chǎn)生問(wèn)題，因此算法研究的主要也是時(shí)間復(fù)雜度，不特別說(shuō)明的情況下，復(fù)雜度就是指時(shí)間復(fù)雜度。

時(shí)間復(fù)雜度

時(shí)間頻度
一個(gè)算法執(zhí)行所耗費(fèi)的時(shí)間，從理論上是不能算出來(lái)的，必須上機(jī)運(yùn)行測(cè)試才能知道。但我們不可能也沒(méi)有必要對(duì)每個(gè)算法都上機(jī)測(cè)試，只需知道哪個(gè)算法花費(fèi)的時(shí)間多，哪個(gè)算法花費(fèi)的時(shí)間少就可以了。并且一個(gè)算法花費(fèi)的時(shí)間與算法中語(yǔ)句的執(zhí)行次數(shù)成正比例，哪個(gè)算法中語(yǔ)句執(zhí)行次數(shù)多，它花費(fèi)時(shí)間就多。一個(gè)算法中的語(yǔ)句執(zhí)行次數(shù)稱為語(yǔ)句頻度或時(shí)間頻度。記為T(mén)(n)。

時(shí)間復(fù)雜度
前面提到的時(shí)間頻度T(n)中，n稱為問(wèn)題的規(guī)模，當(dāng)n不斷變化時(shí)，時(shí)間頻度T(n)也會(huì)不斷變化。但有時(shí)我們想知道它變化時(shí)呈現(xiàn)什么規(guī)律，為此我們引入時(shí)間復(fù)雜度的概念。一般情況下，算法中基本操作重復(fù)執(zhí)行的次數(shù)是問(wèn)題規(guī)模n的某個(gè)函數(shù)，用T(n)表示，若有某個(gè)輔助函數(shù)f(n)，使得當(dāng)n趨近于無(wú)窮大時(shí)，T（n)/f(n)的極限值為不等于零的常數(shù)，則稱f(n)是T(n)的同數(shù)量級(jí)函數(shù)，記作T(n)=O(f(n))，它稱為算法的漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度，簡(jiǎn)稱時(shí)間復(fù)雜度。

大O表示法

像前面用O( )來(lái)體現(xiàn)算法時(shí)間復(fù)雜度的記法，我們稱之為大O表示法。
算法復(fù)雜度可以從最理想情況、平均情況和最壞情況三個(gè)角度來(lái)評(píng)估，由于平均情況大多和最壞情況持平，而且評(píng)估最壞情況也可以避免后顧之憂，因此一般情況下，我們?cè)O(shè)計(jì)算法時(shí)都要直接估算最壞情況的復(fù)雜度。
大O表示法O(f(n)中的f(n)的值可以為1、n、logn、n2等，因此我們可以將O(1)、O(n)、O(logn)、O(n2)分別可以稱為常數(shù)階、線性階、對(duì)數(shù)階和平方階，那么如何推導(dǎo)出f(n)的值呢？我們接著來(lái)看推導(dǎo)大O階的方法。

推導(dǎo)大O階

推導(dǎo)大O階，我們可以按照如下的規(guī)則來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)，得到的結(jié)果就是大O表示法：
1.用常數(shù)1來(lái)取代運(yùn)行時(shí)間中所有加法常數(shù)。
2.修改后的運(yùn)行次數(shù)函數(shù)中，只保留最高階項(xiàng)
3.如果最高階項(xiàng)存在且不是1，則去除與這個(gè)項(xiàng)相乘的常數(shù)。

1. 常數(shù)階
   先舉個(gè)例子，如下所示。

  int sum = 0,n = 100; //執(zhí)行一次  
  sum = (1+n)*n/2; //執(zhí)行一次  
  System.out.println (sum); //執(zhí)行一次 

上面算法的運(yùn)行的次數(shù)的函數(shù)為f(n)=3，根據(jù)推導(dǎo)大O階的規(guī)則1，我們需要將常數(shù)3改為1，則這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(1)。如果sum = （1+n）*n/2這條語(yǔ)句再執(zhí)行10遍，因?yàn)檫@與問(wèn)題大小n的值并沒(méi)有關(guān)系，所以這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度仍舊是O(1)，我們可以稱之為常數(shù)階。

2. 線性階
   線性階主要要分析循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)行情況，如下所示。

for(int i=0;i<n;i++){
//時(shí)間復(fù)雜度為O(1)的算法
...
}

上面算法循環(huán)體中的代碼執(zhí)行了n次，因此時(shí)間復(fù)雜度為O(n)。

3. 對(duì)數(shù)階
   接著看如下代碼：

int number=1;
while(number<n){
number=number*2;
//時(shí)間復(fù)雜度為O(1)的算法
...
}

可以看出上面的代碼，隨著number每次乘以2后，都會(huì)越來(lái)越接近n，當(dāng)number不小于n時(shí)就會(huì)退出循環(huán)。假設(shè)循環(huán)的次數(shù)為X，則由2^x=n得出x=log?n，因此得出這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(logn)。

4. 平方階
   下面的代碼是循環(huán)嵌套：

  for(int i=0;i<n;i++){   
      for(int j=0;j<n;i++){
         //復(fù)雜度為O(1)的算法
         ... 
      }
  }

內(nèi)層循環(huán)的時(shí)間復(fù)雜度在講到線性階時(shí)就已經(jīng)得知是O(n)，現(xiàn)在經(jīng)過(guò)外層循環(huán)n次，那么這段算法的時(shí)間復(fù)雜度則為O(n2)。
接下來(lái)我們來(lái)算一下下面算法的時(shí)間復(fù)雜度：

  for(int i=0;i<n;i++){   
      for(int j=i;j<n;i++){
         //復(fù)雜度為O(1)的算法
         ... 
      }
  }

需要注意的是內(nèi)循環(huán)中int j=i，而不是int j=0。當(dāng)i=0時(shí)，內(nèi)循環(huán)執(zhí)行了n次；i=1時(shí)內(nèi)循環(huán)執(zhí)行了n-1次，當(dāng)i=n-1時(shí)執(zhí)行了1次，我們可以推算出總的執(zhí)行次數(shù)為：

n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1
=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+[(n-3)+4]+……
=(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+……
=(n+1)n/2
=n(n+1)/2
=n2/2+n/2

根據(jù)此前講過(guò)的推導(dǎo)大O階的規(guī)則的第二條：只保留最高階，因此保留n2/2。根據(jù)第三條去掉和這個(gè)項(xiàng)的常數(shù)，則去掉1/2,最終這段代碼的時(shí)間復(fù)雜度為O(n2)。

ps:
冒泡排序的時(shí)間復(fù)雜度，最壞情況下為O(n2)，最好情況O(n)。
選擇排序的時(shí)間復(fù)雜度，無(wú)論什么數(shù)據(jù)進(jìn)去都是O(n2)的時(shí)間復(fù)雜度。
十大經(jīng)典排序算法（動(dòng)圖演示）
常見(jiàn)排序算法及其對(duì)應(yīng)的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度