機械動力學（一）：剛體動力學

前言

機械動力學系列文章，初衷是整理研究生課程《機械動力學》主干知識。每篇文章最前會給出本部分在國內(nèi)的課程名稱，以及所需要的前修知識。

剛體動力學

對于剛體動力學，本部分的講授內(nèi)容實際為理論力學（二）：剛體的一般運動（三維運動）。因此，學習這部分所需的前修課程有：理論力學（質(zhì)點運動、剛體的平面運動）、矢量分析基礎(chǔ)。

本部分的具體可以參考：Hibbeler R C. Engineering Mechanics: Dynamics (12th) (Chap.20 21)

剛體運動的分類

從運動維度來分，剛體可分為平面運動（二維）和一般運動（三維）。平面運動內(nèi)有平動和定軸轉(zhuǎn)動兩種特殊形式，組合在一起即為平面運動。而對于一般運動，有一些特殊的一般運動比如定點運動（陀螺）等。因此，如何用物理方程描述這些運動，便是后續(xù)討論的內(nèi)容。

剛體的一般運動：運動學分析

描述剛體一般運動的坐標系（以平面為例）

XYZ：全局坐標系，固定坐標系。以下簡稱定系。
xyz：局部坐標系，旋轉(zhuǎn)坐標系。以下簡稱動系。

位置關(guān)系：\vec{r}_B = \vec{r}_A + \vec{r}_{B/A}

上式對時間求導，可得到速度關(guān)系：\vec{v}_B = \vec{v}_A + \frac{{\rm d}}{{\rm d}t }\vec{r}_{B/A}。對于旋轉(zhuǎn)矢量（\vec{r}_{B/A}在全局固定坐標系下與局部動坐標系固結(jié)，隨著動系旋轉(zhuǎn)），求旋轉(zhuǎn)矢量對時間的導數(shù)，可以使用如下公式計算：

\frac{{\rm d}}{{\rm d}t }\vec{r}_{B/A} = (\vec{v}_{B/A})_{xyz} + \vec{\Omega} \times \vec{r}_{B/A}

平面中理解即為絕對速度=相對速度（相對導數(shù)）+牽連速度。稍加整理，便可以得到速度關(guān)系：\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\Omega} \times \vec{r}_{B/A} +(\vec{v}_{B/A})_{xyz}

繼續(xù)對時間求導，注意旋轉(zhuǎn)矢量對時間求導的計算，即可得到加速度關(guān)系：

\vec{a}_B = \vec{a}_A +\dot{ \vec{\Omega}} \times \vec{r}_{B/A} + \vec{\Omega} \times (\vec{\Omega} \times \vec{r}_{B/A}) + 2\vec{\Omega} \times \vec{v}_{B/A} + (\vec{a}_{B/A})_{xyz}

平面中理解即為絕對加速度=牽連加速度（切向+法向）+科氏加速度+相對加速度。

剛體的一般運動：動力學方程

對于平面運動的動力學方程具體形式這里不再展開敘述。

經(jīng)典力學中，最基本的動力學方程為：\sum \vec{F} = m \vec{a}_G \sum \vec{M}_O = \dot{\vec{H}}_O
第一式為牛頓方程，可以在直角坐標，極坐標，自然坐標系下列出投影式。
第二式為歐拉方程，上式為針對固定點的歐拉方程。若對剛體的質(zhì)心列歐拉方程，形式上與固定點的歐拉方程類似（推導略過）：\sum \vec{M}_G = \dot{\vec{H}}_G
歐拉方程中\vec{H}為剛體的角動量（動量矩）：

  • 對固定點O的角動量：\vec{H}_O = \int_m \vec{r}_O \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_O) \,\mathrmu0z1t8osm
  • 對質(zhì)心G的角動量：\vec{H}_G = \int_m \vec{r}_G \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_G) \,\mathrmu0z1t8osm
  • 對任意點A的角動量：\vec{H}_A = \int_m \vec{r}_{G/A} \times m \vec{v}_G + \vec{H}_G

歐拉方程中，\dot{\vec{H}} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\vec{H}，然而其具體形式依然不是很清楚，需要繼續(xù)推導。顯然這里是旋轉(zhuǎn)矢量對時間求導，因此有：
\sum \vec{M}_O = (\vec{H}_O)_{xyz} + \dot{\vec{\Omega}} \times \vec{H}_O \sum \vec{M}_G = (\vec{H}_G)_{xyz} + \dot{\vec{\Omega}} \times \vec{H}_G
其中，xyz為與剛體固結(jié)的坐標系，(.)_{xyz}表示在動坐標系內(nèi)求相對導數(shù)。在這里\vec{\omega}和\vec{\Omega}分別表示剛體轉(zhuǎn)動角速度和局部（動）坐標系的角速度。但是實際運用過程中一般將動系與剛體固結(jié)，即\vec{\Omega} = \vec{\omega}。
下面具體討論\vec{\omega}和\vec{\Omega}大小關(guān)系不同時，歐拉方程的具體形式：

  1. \vec{\Omega} = \vec{\omega} = 0
    剛體做平面運動，方程退化為：\sum \vec{M}_O = J \times \vec{\alpha}，不在討論。其中J為轉(zhuǎn)動慣量（質(zhì)量主慣性矩）。
  2. \vec{\Omega} = \vec{\omega} \neq 0
    這是最常用的情形：動系與剛體固結(jié)。當動系的原點為固定點O或質(zhì)心G時，角動量對時間求導出現(xiàn)的質(zhì)量慣性積為0，即：
    \begin{bmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_{zz} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{x} & 0 & 0 \\ 0 & I_{y} & 0 \\ 0 & 0 & I_{z} \\ \end{bmatrix}
    歐拉方程為：
    \sum \vec{M}_x = I_x \dot{\vec{\omega}}_x - (I_y - I_z)\vec{\omega}_y \vec{\omega}_z \sum \vec{M}_y = I_y \dot{\vec{\omega}}_y - (I_z - I_x)\vec{\omega}_z \vec{\omega}_x \sum \vec{M}_z = I_z \dot{\vec{\omega}}_z - (I_x - I_y)\vec{\omega}_x \vec{\omega}_y
  3. \vec{\Omega} \neq \vec{\omega}
    不常用，有需要再展開敘述。

分析方法： 運動學

建系

  • 建立定系、動系一般固結(jié)在剛體上，即\vec{\Omega} = \vec{\omega}。

運動分析

  • 列出動點、定點的速度、加速度關(guān)系式，計算所需要的物理量：
    \vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\Omega} \times \vec{r}_{B/A} +(\vec{v}_{B/A})_{xyz}
    \vec{a}_B = \vec{a}_A +\dot{ \vec{\Omega}} \times \vec{r}_{B/A} + \vec{\Omega} \times (\vec{\Omega} \times \vec{r}_{B/A}) + 2\vec{\Omega} \times \vec{v}_{B/A} + (\vec{a}_{B/A})_{xyz}
  • \vec{\Omega} = \vec{\omega}，則\dot{\vec{\Omega}} = (\dot{\vec{\omega}})_{xyz}。
  • \vec{r}_A入手，一般用動系的基底表示比較方便。注意旋轉(zhuǎn)矢量對時間的求導計算。
  • (\vec{r}_{B/A})_{xyz}同理。
  • 對應(yīng)分量相等，即可求解出未知量。

分析方法：動力學

受力分析

  • 畫實例分析圖，建立定系、動系一般固結(jié)在剛體上，即\vec{\Omega} = \vec{\omega}。
  • 計算剛體對其旋轉(zhuǎn)軸（動系軸）的質(zhì)量慣性積。

運動學分析

  • 對于\vec{\Omega} = \vec{\omega}，有\dot{\vec{\Omega}} = (\dot{\vec{\omega}})_{xyz}

列動力學方程

  • 6個方程6個未知數(shù)，即可求解。
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