解析幾何里面如何求斜率
你還記得學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)第一次聽說斜率是什么時(shí)候嗎？
斜率一詞是在學(xué)習(xí)正比例函數(shù)時(shí)出現(xiàn)的，看來我們和斜率的淵源顏深響。
想想看，學(xué)習(xí)正比例函數(shù)時(shí)，是用什么方法求斜率的。
為了求斜率，首先要在直線上選取兩點(diǎn)繪制一個(gè)三角形。取兩點(diǎn)的縱向差和橫向差，用縱向差除以橫向差就得到斜率。數(shù)學(xué)上的斜率表示為“縱向長(zhǎng)度差÷橫向長(zhǎng)度差”。（日常生活中多用角度表示斜率，但角度不易計(jì)算，所以不常使用。）
這是求斜率的基本方法，是一個(gè)基本的計(jì)算原則。
但是求曲線的斜率卻不能直接使用這種方法。曲線彎彎曲曲，不能任取兩點(diǎn)組成三角形，因?yàn)闊o法確定要求哪個(gè)點(diǎn)的斜率。而如果是直線的話，無論在哪兒取兩點(diǎn)，計(jì)算出的斜率都是一定的。
那曲線如何取點(diǎn)比較好？如何取點(diǎn)才能求出準(zhǔn)確的斜率？都是很難的問題。
怎樣在曲線上取兩點(diǎn)
求斜率的基本方法就是取兩點(diǎn)、連線，之后用兩點(diǎn)間的“縱向長(zhǎng)度差”除以“橫向長(zhǎng)度差”。
無論是直線還是曲線，這一原則都不會(huì)改變。也就是說，在求曲線上某個(gè)點(diǎn)的斜率時(shí)，仍需找到兩個(gè)點(diǎn)。但實(shí)際上找到兩個(gè)點(diǎn)是不可能的。
不可能，又必須找出來，怎么辦好呢？
例如，我們要求右頁圖中A點(diǎn)的斜率。為此需要先找到兩個(gè)適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)。
我們?cè)谇€上取點(diǎn)P和點(diǎn)Q，將點(diǎn)A夾在中間。連接點(diǎn)P和點(diǎn)Q得到直線PQ。因PQ是直線，求它的斜率很容易。之后我們使點(diǎn)P和點(diǎn)Q從左右兩側(cè)盡可能靠近點(diǎn)A。這樣，最終就會(huì)出現(xiàn)一條與點(diǎn)A緊緊相連的直線，數(shù)學(xué)上稱之為曲線在點(diǎn)A的切線。
使曲線上的兩點(diǎn)不斷接近
在曲線上取兩點(diǎn)時(shí)，要使其盡可能靠近點(diǎn)A。
“但是兩點(diǎn)無限接近時(shí)的斜率究竟該怎么求呢？”“兩點(diǎn)無限接近最終不就成為一點(diǎn)了嗎？這也不是兩點(diǎn)呀？……疑問隨之而來。
事實(shí)確實(shí)如此。如果它們完全重疊，就成為“一個(gè)點(diǎn)”了。
但如果是非常接近呢？間距為1微米、1納米或更近…實(shí)際上確實(shí)是兩點(diǎn)，但看起來卻像一個(gè)點(diǎn)。
這種“使兩點(diǎn)無限接近”、“不重疊但使其無限靠近”的數(shù)學(xué)式思維方法就是極限理念。
求某一點(diǎn)的斜率和求導(dǎo)離不開極限概念。
因此，接下來我們要稍稍偏離導(dǎo)數(shù)，先來談?wù)剺O限。
