立體幾何之目：2019年理數(shù)B17~四棱柱

四棱柱：2019年理科數(shù)學全國卷B題17

如圖，長方體 ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面 ABCD 是正方形，點 E 在棱 AA_1 上，BE \perp EC_1.

（1）證明∶BE \perp 平面 EB_1C_1 ;

（2）若 AE=A_1E，求二面角 B-EC-C_1 的正弦值.

2019年理數(shù)B17

【解答第1問】

∵ ABCD-A_1B_1C_1D_1 是長方體

∴ C_1B_1 \perp 面 A_1ABB_1, C_1B_1 \perp BE

∵ BE \perp EC_1, BE \perp C_1B_1, EC_1 \cap C_1B_1=C_1

∴ BE \perp 面 EB_1C_1.

【解答第2問】

連接 AC 與 BD, 并記其交點為 Q.

ABCD 是正方形，∴ AC \perp BD, 且 QA=QC=\dfrac{1}{2}AC

∵ ABCD-A_1B_1C_1D_1 是長方體，∴ A_1A \perp 面 ABCD, A_1A \perp BD

∵ A_1A \perp BD, AC \perp BD, A_1A \cap AC=A,

∴ BD \perp 面 A_1AC, \triangle QEC 是 \triangle BEC 在平面 AEC 內的投影。

∵ ABCD-A_1B_1C_1D_1 是長方體, ∴ A_1ABB_1 是矩形，

又∵ AE=A_1E, ∴ \triangle EAB \cong \triangle EA_1B_1, EB=EB_1

又∵ BE \perp 面 EB_1C_1, ∴ BE \perp EB_1

∴ \triangle EBB_1 是等腰直角三角形.

令 AB=1, 則 EA=EA_1=AB=BC=1,

EB=\sqrt{2}, AC=\sqrt{2}, EC=\sqrt{3}.

S_{\triangle BEC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, S_{\triangle QEC}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}

\cos <B-EC-A> = \dfrac{S_{\triangle QEC}}{S_{\triangle BEC}}=\dfrac{1}{2}

\sin <B-EC-A> = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

∵ 二面角 B-EC-C_1 與 二面角B-EC-C_1 互補，∴ \sin <B-EC-C_1> = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

【提煉與提高】

第1問是很常規(guī)的考法，難度與統(tǒng)編教材的習題相當。

第2問難度適中。利用面積比求二面角，是很常規(guī)的操作。假如用空間向量來解答，也是可以的。我們這里用面積比來解答，計算量要小一些。讀者可以自行比較。

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