1. 概述

利用Arnold變換（又稱(chēng)貓臉變換）可以對(duì)圖像進(jìn)行置亂，使得原本有意義的圖像變成一張無(wú)意義的圖像。該變換可以在其它圖像處理前對(duì)圖像做預(yù)處理，例如在數(shù)字盲水印嵌入前對(duì)水印進(jìn)行置亂。也可以用于普通的圖像加密。
通常一次Arnold變換達(dá)不到理想效果，需要對(duì)圖像進(jìn)行連續(xù)多次的變換。Arnold變換具有周期性，即對(duì)圖像連續(xù)進(jìn)行Arnold變換，最終又能得到原圖像。變換的周期和圖像的尺寸有關(guān)。
當(dāng)圖像是一張方形的圖像時(shí)，Arnold變換存在逆變換。經(jīng)過(guò)N次Arnold變換后的數(shù)據(jù)可以通過(guò)N次逆變換恢復(fù)數(shù)據(jù)。
Arnold變換不僅可以用于圖像置亂，也可以用于其它數(shù)據(jù)的置亂和加密。

2. 狹義的貓臉變換

2.1 公式

狹義的貓臉變換即最簡(jiǎn)單的一種變換。網(wǎng)絡(luò)上絕大部分關(guān)于Arnold變換的博客都是狹義Arnold變換。
其矩陣運(yùn)算公式為：

狹義貓臉變換矩陣公式

轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式為：

狹義貓臉變換多項(xiàng)式公式

其中mod()是取模運(yùn)算，N是正方形圖像的邊長(zhǎng)，(x', y')是像素點(diǎn)(x, y)變換后的坐標(biāo)。
注意求模運(yùn)算(mod) ≠ 求余運(yùn)算(%) 。在被除數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)兩者存在差別，例如： -5 mod(6) = 1, 但 -5 % 6 = -5。

/**
 * 求模運(yùn)算
 */
private int mod(int number, int mod) {
    return (number % mod + mod) % mod;
}

2.2 物理意義和示意圖

置亂的實(shí)質(zhì)是新位置與舊位置的映射，且該映射是一一對(duì)應(yīng)的。下圖是一次貓臉變換的示意圖：

狹義貓臉變換示意圖

(a)是原圖
(b)是先做水平方向的錯(cuò)切
(c)是在(b)的基礎(chǔ)上再做一次豎直方向的錯(cuò)切
(d)是對(duì)圖像求模，即切割回填操作，得到變換后的圖像。

如果你想知道為什么要這樣變換，為什么是水平錯(cuò)切一個(gè)單位，豎直錯(cuò)切兩個(gè)單位：
實(shí)際上這里水平錯(cuò)切的長(zhǎng)度是一倍圖像的高度，豎直錯(cuò)切的長(zhǎng)度是一倍圖像的高度加一倍圖像的寬度。由于圖像的寬高相等，所以這里看起來(lái)是水平錯(cuò)切一個(gè)單位，豎直兩個(gè)單位。
為什么這樣子錯(cuò)切，是因?yàn)?strong>置亂的實(shí)質(zhì)是新位置與舊位置的映射，且該映射是一一對(duì)應(yīng)的。
也就是說(shuō)，其它錯(cuò)切形式可能造成多個(gè)點(diǎn)移動(dòng)到同一個(gè)位置，導(dǎo)致圖像信息的丟失。例如下面兩種錯(cuò)切方式：

其他錯(cuò)切情形

第一種是水平和豎直方向都錯(cuò)切一個(gè)單位，第二種是水平一個(gè)單位，豎直三個(gè)單位。可以看出，取模后兩種錯(cuò)切方式都有部分區(qū)域重疊了。因此錯(cuò)切的單位是有一定要求的，詳見(jiàn)后文廣義的Arnold變換。

2.3 代碼實(shí)現(xiàn)

2.3.1 Java泛型的實(shí)現(xiàn)

此處寬高需要相等是方便后續(xù)的逆變換。

public class Arnold<T> {

    /**
     * 貓臉變換
     * @param origin 原始圖像
     * @param dest 用于保存變換后的圖像
     * @param count 變換的次數(shù)
     */
    public void arnold(T[][] origin, T[][] dest, int count) {
        int newY, newX;
        while (count > 0) {
            for (int row = 0; row < origin.length; row++) {
                for (int col = 0; col < origin[0].length; col++) {
                    newX = (col + row) % origin.length;
                    newY = (col + 2 * row) % origin.length;
                    dest[newY][newX] = origin[row][col];
                }
            }
            count--;
            origin = Arrays.copyOf(dest, dest.length);
        }
    }

}

2.3.2 適用于Android的一維數(shù)組形式

/**
 * 貓臉變換
 * @param origin 原始圖像，寬高必須一致
 * @param dest 用于保存輸出
 * @param SIZE 寬和高
 * @param count 變換的次數(shù)
 */
public void arnold(int[] origin, int[] dest, int SIZE, int count) {
    int oldY, oldX, newY, newX;
    while (count > 0) {
        for (int index = 0; index < origin.length; index++) {
            oldX = index % SIZE;
            oldY = index / SIZE;
            newX = (oldX + oldY) % SIZE;
            newY = (oldX + 2 * oldY) % SIZE;
            dest[newY * SIZE + newX] = origin[index];
        }
        count--;
        origin = Arrays.copyOf(dest, dest.length);
    }
}

2.3.3 實(shí)際運(yùn)行結(jié)果

如圖所示，一次變換后，原圖得到了一定程度的置亂，但還能分辨出原始圖像的信息，6次變換后圖像已看不出原始圖像的信息。

狹義貓臉變換運(yùn)行結(jié)果

3. 狹義貓臉變換的逆變換

當(dāng)一張圖片的寬度和高度相同時(shí)，Arnold變換具有逆變換。雖然Arnold變換具有周期性，可以通過(guò)一直變換下去得到原圖，但是周期越長(zhǎng)，恢復(fù)原圖也越長(zhǎng)。通過(guò)逆變換可以較為方便地把變換后的圖像恢復(fù)。

3.1 逆變換公式

狹義貓臉逆變換矩陣公式

轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式為：

狹義貓臉逆變換多項(xiàng)式公式

3.2 代碼實(shí)現(xiàn)

3.2.1 泛型形式的實(shí)現(xiàn)

/**
 * 貓臉逆變換
 * @param origin 原始圖像
 * @param dest 用于保存變換后的圖像
 * @param count 變換的次數(shù)
 */
public void inverseArnold(T[][] origin, T[][] dest, int count) {
    int newY, newX;
    while (count > 0) {
        for (int row = 0; row < origin.length; row++) {
            for (int col = 0; col < origin[0].length; col++) {
                newX = (col + row) % origin.length;
                newY = (col + 2 * row) % origin.length;
                dest[newY][newX] = origin[row][col];
            }
        }
        count--;
        origin = Arrays.copyOf(dest, dest.length);
    }
}

3.2.2 適用于Android的一維數(shù)組形式

/**
 * 貓臉逆變換
 * @param origin 原圖
 * @param dest 保存變換后的圖像
 * @param SIZE 寬高
 * @param count 變換次數(shù)
 */
public void inverseArnold(int[] origin, int[] dest, int SIZE, int count) {
    int oldY, oldX, newY, newX;
    while (count > 0) {
        for (int index = 0; index < origin.length; index++) {
            oldX = index % SIZE;
            oldY = index / SIZE;
            newY = mod((oldY - oldX), SIZE);
            newX = mod((2 * oldX - oldY), SIZE);
            dest[newY * SIZE + newX] = origin[index];
        }
        count--;
        origin = Arrays.copyOf(dest, dest.length);
    }
}

逆變換的效果當(dāng)然就是把圖像復(fù)原了。此處就不在貼效果圖了。

4. 廣義的貓臉變換

4.1 公式

如前文所述，只要錯(cuò)切的單位滿足取?；靥詈?，原圖與變換后的圖能夠一一對(duì)應(yīng)，那么該變換就是有效的。滿足這個(gè)條件的公式是：

廣義貓臉變換矩陣公式.png

廣義貓臉變換行列式公式

其逆變換公式為：

廣義貓臉逆變換矩陣公式.png

廣義貓臉逆變換多項(xiàng)式公式.png

4.2 代碼實(shí)現(xiàn)

這里只列出了用于Android的一維數(shù)組形式：

4.2.1 廣義正變換

/**
 * 廣義貓臉變換
 * @param origin 原圖
 * @param dest 變換后的圖
 * @param SIZE 圖像寬度和高度
 * @param count 變換次數(shù)
 */
public void arnold(int[] origin, int[] dest, int SIZE, int count, int a, int b) {
    final int ab_plus_1 = a * b + 1;
    int oldY, oldX, newY, newX;
    while (count > 0) {
        for (int index = 0; index < origin.length; index++) {
            oldX = index % SIZE;
            oldY = index / SIZE;
            newX = (oldX + a * oldY) % SIZE;
            newY = (b * oldX + ab_plus_1 *oldY) % SIZE;
            dest[newY * SIZE + newX] = origin[index];
        }
        count--;
        origin = Arrays.copyOf(dest, dest.length);
    }
}

4.2.2 廣義逆變換

/**
 * 廣義貓臉逆變換
 * @param origin 原圖
 * @param dest 變換后的圖
 * @param SIZE 圖像寬度和高度
 * @param count 變換次數(shù)
 */
public void inverseArnold(int[] origin, int[] dest, int SIZE, int count, int a, int b) {
    final int ab_plus_1 = a * b + 1;
    int oldY, oldX, newY, newX;
    while (count > 0) {
        for (int index = 0; index < origin.length; index++) {
            oldX = index % SIZE;
            oldY = index / SIZE;
            newX = mod(ab_plus_1 * oldX - a * oldY, SIZE);
            newY = mod(oldY - b * oldX, SIZE);
            dest[newY * SIZE + newX] = origin[index];
        }
        count--;
        origin = Arrays.copyOf(dest, dest.length);
    }
}

5. 利用Arnold變換進(jìn)行加密

對(duì)于廣義Arnold變換，當(dāng)a、b、count任何一個(gè)值不同時(shí)，變換后圖像也是不相同的。因此，可以把（a、b、count）作為加密參數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行加密。此外，還可以對(duì)圖像的不同部分進(jìn)行不同的加密，使得更難破解。例如，可以把圖像分為四份（甚至可以有交集），分別對(duì)每一份子圖進(jìn)行加密，這樣又增大了破解的難度。
Arnold加密后，如果圖像被破壞了，例如壓縮、涂改等。解密后的圖像依然能恢復(fù)一部分?jǐn)?shù)據(jù)。
下圖是以參數(shù)（7，11，4）加密的圖像，以及對(duì)加密后的圖像進(jìn)行涂抹后再解密的結(jié)果。

魯棒性測(cè)試

(a) 原圖
(b) 加密后的圖像
(c) 涂抹
(d) 解謎后的圖像

可以看出Arnold變換有較高的魯棒性，即使添加了多個(gè)較大的圓也能恢復(fù)出原圖的大致信息。
根據(jù)Arnold變換的原理，我們還可以用來(lái)加密其它數(shù)據(jù)，而不僅僅是圖像。

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Arnold變換詳解

Arnold變換詳解

1. 概述

2. 狹義的貓臉變換

2.1 公式

2.2 物理意義和示意圖

2.3 代碼實(shí)現(xiàn)

2.3.1 Java泛型的實(shí)現(xiàn)

2.3.2 適用于Android的一維數(shù)組形式

2.3.3 實(shí)際運(yùn)行結(jié)果

3. 狹義貓臉變換的逆變換

3.1 逆變換公式

3.2 代碼實(shí)現(xiàn)

3.2.1 泛型形式的實(shí)現(xiàn)

3.2.2 適用于Android的一維數(shù)組形式

4. 廣義的貓臉變換

4.1 公式

4.2 代碼實(shí)現(xiàn)

4.2.1 廣義正變換

4.2.2 廣義逆變換

5. 利用Arnold變換進(jìn)行加密

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Arnold變換詳解

1. 概述

2. 狹義的貓臉變換

2.1 公式

2.2 物理意義和示意圖

2.3 代碼實(shí)現(xiàn)

2.3.1 Java泛型的實(shí)現(xiàn)

2.3.2 適用于Android的一維數(shù)組形式

2.3.3 實(shí)際運(yùn)行結(jié)果

3. 狹義貓臉變換的逆變換

3.1 逆變換公式

3.2 代碼實(shí)現(xiàn)

3.2.1 泛型形式的實(shí)現(xiàn)

3.2.2 適用于Android的一維數(shù)組形式

4. 廣義的貓臉變換

4.1 公式

4.2 代碼實(shí)現(xiàn)

4.2.1 廣義正變換

4.2.2 廣義逆變換

5. 利用Arnold變換進(jìn)行加密

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