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感謝大家對(duì)標(biāo)題黨 00 的寬容，這篇文章的完整標(biāo)題應(yīng)該是：很傻很天真 - 但是擁有迷妹萬(wàn)千 - 不黃很暴力 - 十分鐘提高智商的貝葉斯定理。

上一篇心智樂高探討了基本比率謬誤（base rate fallacy），跟盆友討論時(shí)提到了貝葉斯。于是心智樂高第四篇，我們嚴(yán)肅正經(jīng)地來(lái)八卦一下特別重要的貝葉斯定理。

等等，為什么我們要去了解一個(gè)數(shù)學(xué)定理……還是統(tǒng)計(jì)學(xué)定理？

在你點(diǎn)返回、罵辣雞、憤而取關(guān)之前，再看幾條對(duì)貝葉斯的安利：

• 一個(gè)看上去很傻很天真的定理，卻在學(xué)術(shù)和生活中意外的很強(qiáng)大很好用
• 你看不見它，它卻無(wú)處不在，幾乎所有需要作出概率預(yù)測(cè)的地方，它都陰魂不散
• 是機(jī)器學(xué)習(xí)的核心方法之一
• 關(guān)鍵時(shí)刻可以令你智商上線，用來(lái)保命，或者掙得巨額財(cái)富

（啊，簡(jiǎn)直 POI 根妹即視感！)

貝葉斯在生活中真的有用嘛？別著急，00 先代表廣大宅男/宅女提一個(gè)問(wèn)題：

我發(fā)給女神/男神的微信，只有一半會(huì)收到回復(fù)，她/他是喜歡我還是討厭我？我們有發(fā)展的可能嗎……

然后我們來(lái)慢慢解答。

貝葉斯定理的由來(lái)

話說(shuō) 18 世紀(jì) 70 年代，有個(gè)一個(gè)牧師叫 Thomas Bayes，為解決一個(gè)「逆向概率」問(wèn)題寫了一篇文章。嘗試解答在沒有太多可靠證據(jù)的情況下，怎樣做出更符合數(shù)學(xué)邏輯的推測(cè)。

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所謂「逆向概率」是相對(duì)「正向概率」而言。正向概率的問(wèn)題很容易理解，如“假設(shè)袋子里面有 N 個(gè)白球，M 個(gè)黑球，你伸手進(jìn)去摸一把，摸出黑球的概率是多大”。但是實(shí)際場(chǎng)景中，這個(gè)問(wèn)題往往是反過(guò)來(lái)的：“如果事先并不知道袋子里面黑白球的比例，而是閉著眼睛摸出一個(gè)（或好幾個(gè)）球，觀察這些取出來(lái)的球的顏色，我們可以對(duì)袋子里面黑白球的比例作出什么樣的推測(cè)”。

貝葉斯推斷與其他統(tǒng)計(jì)學(xué)推斷方法截然不同。它建立在主觀判斷的基礎(chǔ)上，也就是說(shuō)，你可以不需要客觀證據(jù)，先估計(jì)一個(gè)值，然后根據(jù)實(shí)際結(jié)果不斷修正。

貝葉斯生前并沒有發(fā)表他的文章，他的“朋友” Richard Price 在他死后去他的住處揩油，發(fā)現(xiàn)了這篇文章，并發(fā)表出來(lái)。

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1812 年，法國(guó)人 Pierre Simona 將貝葉斯的理論進(jìn)一步發(fā)展為條件概率，幫助人們?cè)诟怕氏嚓P(guān)的決策過(guò)程中，通過(guò)新獲得的觀察結(jié)果來(lái)更正對(duì)概率的判斷。

貝葉斯定理（Bayes' theorem）告知我們?nèi)绾卫眯伦C據(jù)修改已有的看法。在事件 B 出現(xiàn)的前提下，事件 A 出現(xiàn)的概率，等于 A 和 B 都出現(xiàn)的概率，除以 B 出現(xiàn)的概率。用公式表示就是：

[圖片上傳失敗...(image-fa3701-1512554797861)]

幾個(gè)相關(guān)概念：

• 先驗(yàn)概率：在考慮觀測(cè)數(shù)據(jù)前，能表達(dá)不確定量 p 的概率分布
• 后驗(yàn)概率：在考慮和給出相關(guān)證據(jù)或數(shù)據(jù)后所得到的條件概率
• 條件概率：事件 A 在另外一個(gè)事件 B 已經(jīng)發(fā)生條件下的發(fā)生概率，表示為 P(A|B)
• 可能性函數(shù)/似然函數(shù)：一種關(guān)于統(tǒng)計(jì)模型中參數(shù)的函數(shù)，用于在已知某些觀測(cè)所得到的結(jié)果時(shí)，對(duì)有關(guān)事物的性質(zhì)的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)

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這就是貝葉斯定理的含義：我們先預(yù)估一個(gè)「先驗(yàn)概率」，然后加入實(shí)驗(yàn)結(jié)果，看這個(gè)實(shí)驗(yàn)到底是增強(qiáng)還是削弱了「先驗(yàn)概率」，由此得到更接近事實(shí)的「后驗(yàn)概率」。

「AM I SICK？」貝葉斯定理的經(jīng)典用法

假設(shè)，有一種叫做「葉貝死」的病，人群中得病概率是萬(wàn)分之一，即 0.0001。然后，有一種測(cè)試可以檢測(cè)你是否患有「葉貝死」病，準(zhǔn)確率為 99.9%。你做了一次測(cè)試，結(jié)果被告知得病了！

然后你的世界坍塌了，把這個(gè)不幸的消息告訴家人，開始準(zhǔn)備遺囑，甚至皈依了一個(gè)莫名其妙的宗教，好走完最后的日子……

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這個(gè)時(shí)候，你的智商不知道被誰(shuí)通知上線了，讓我們?cè)僬一貦z測(cè)報(bào)告，看看遺漏了些什么。

逃出生天之圖解版

我們知道，每當(dāng) 1 萬(wàn)人中會(huì)有 1 個(gè)人患病，這也意味著另外 9999 個(gè)人沒病。

再來(lái)看看檢測(cè)的準(zhǔn)確率。如果真正患病的人去做檢查，那么 99.9% 的概率會(huì)被診斷出來(lái)。如果實(shí)際上沒有患病的人，會(huì)有 0.1% 的概率會(huì)被誤診斷。于是這 1 萬(wàn)人中，9989 人相安無(wú)事，總共有 11 人被診斷為「葉貝死」，但只有 1 人真正患病。

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所以，你雖然被告知患病，但實(shí)際上真正患病的概率是：1/11 ，約 9%。

逃出生天之公式版

把題目正經(jīng)描述一下：

已知「葉貝死」的發(fā)病率是0.0001，即10000人中會(huì)有1個(gè)人得病?，F(xiàn)有一種測(cè)試可以檢驗(yàn)患者是否得病，的準(zhǔn)確率是0.999，即在患者確實(shí)得病的情況下，它有 99.9% 的可能呈現(xiàn)陽(yáng)性。它的誤報(bào)率是 0.1%，即在沒有得病的情況下，它有 0.1% 的可能呈現(xiàn)陽(yáng)性。 現(xiàn)在張三的檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，請(qǐng)問(wèn)他確實(shí)得病的可能性有多大？

用貝葉斯定理進(jìn)行計(jì)算，步驟是這樣的：

令 S 表示患病事件，N表示未患病事件，Y表示檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性事件。

我們想要計(jì)算的是，在檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性的條件下，張三確實(shí)「葉貝死」的概率：

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從題目中找到公式右邊的三個(gè)變量：

將表格中的值代入上面公式可得

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結(jié)果為：9%

女/男神到底愛不愛我

正襟危坐這么久，終于可以回到正題胡說(shuō)八道了。

我發(fā)給女神/男神的微信，只有一半會(huì)收到回復(fù)，她/他是喜歡我還是討厭我？我們有發(fā)展的可能嗎……

世界上不知道有多少癡漢，每天在癡癡地等著某個(gè)微信好友頭像出現(xiàn)新消息提示。每發(fā)出一條消息，心中就有一群?jiǎn)栴}如羊駝般呼嘯而過(guò)：ta 在忙嗎？會(huì)不會(huì)看不到我的消息？一分鐘過(guò)去了他還是沒有回我的消息，我要不要再等等？剛才那條消息會(huì)不會(huì)太無(wú)聊了啊我自己可能都懶得回我怎么這么蠢??？不過(guò)說(shuō)不定 ta 今天心情好或者正在無(wú)聊地等車呢？不知道其他人給他發(fā)消息他會(huì)秒回呢還是要等高冷的一小時(shí)？哎呀如果 ta 回復(fù)了我該說(shuō)些什么呢？啊啊啊什么時(shí)候可以見到 ta？我們都認(rèn)識(shí)這么久了 ta 對(duì)我到底有沒有意思呢？…………

生活在這些問(wèn)題中，實(shí)在是太可怕了。

自黑黨的癡漢們，做癡漢也要做得有極客范。用貝葉斯定理來(lái)幫助我們 YY 吧！把羊駝們哄回羊圈，沐浴齋戒，攤開紙筆，寫下通往未知和答案的神奇公式：

• P(喜歡一個(gè)人|回微信)：回復(fù)微信的情況下喜歡一個(gè)人的概率
• P(回微信|喜歡一個(gè)人)：喜歡一個(gè)人時(shí)會(huì)回復(fù)微信的概率
• P(喜歡一個(gè)人)：女/男神喜歡一個(gè)人的概率
• P(回微信)：女/男神正常情況下回復(fù)微信的概率

假設(shè)你通過(guò)八卦、潛伏、收買人心、純粹臆想等花式調(diào)研，獲得了以下情報(bào)：

那么計(jì)算的結(jié)果是：

結(jié)論1：女神真難追??！

結(jié)論2：少年你想多了，這概率比 P2P 的投資回報(bào)率還低，還是乖乖回家提升自己吧！

結(jié)論3：愚蠢的人類，用微信就想推斷女/男神的心？有本事約去旅行看看？

注：這部分純屬胡說(shuō)八道，請(qǐng)勿作為指引！如路遇女/男神，還請(qǐng)勇敢壁咚

你貝葉斯了嗎？

貝葉斯定理，其實(shí)體現(xiàn)了一種概率觀，它利用過(guò)往信息來(lái)逐漸逼近事件發(fā)生概率，這是一種啟發(fā)式的統(tǒng)計(jì)學(xué)思考方式。

具有貝葉斯思維的人，并不試圖刻畫事件本身，甚至也不去假設(shè)那類事件是隨機(jī)的，或者有一個(gè)逼近極限的總體概率。而只是從觀察者信息補(bǔ)全的角度出發(fā)，先從以往經(jīng)驗(yàn)中總結(jié)一個(gè)大致結(jié)果，再基于這個(gè)結(jié)果判斷下次出現(xiàn)這類事件的概率，每次的結(jié)果會(huì)不斷修正之前的判斷，如此往復(fù)。這個(gè)過(guò)程反應(yīng)的是我們知識(shí)狀態(tài)的情況，而并非試圖描述客觀世界中事件發(fā)生的概率。

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人類基因里可以給予我們的直覺只能指導(dǎo)我們?nèi)绾我捠?，躲避天敵，在危險(xiǎn)的世界活下來(lái)。而一旦涉及到科學(xué)范疇，那些原始的直覺就不起作用了。想用更理性的思維分析周遭，就要摒棄固有的直覺，不斷通過(guò)理解與學(xué)習(xí)建立新的直覺。

今天，你貝葉斯了嗎？

參考資料

• Bayes' theorem - Wikipedia
• 貝葉斯定理 - 維基百科，自由的百科全書
• 先驗(yàn)概率 - 維基百科，自由的百科全書
• 后驗(yàn)概率 - 維基百科，自由的百科全書
• 條件概率 - 維基百科，自由的百科全書
• 數(shù)學(xué)之美番外篇：平凡而又神奇的貝葉斯方法
• 貝葉斯推斷及其互聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用（一）：定理簡(jiǎn)介 - 阮一峰的網(wǎng)絡(luò)日志
• Everything You Ever Wanted to Know About Bayes' Theorem But Were Afraid To Ask. - YouTube
• 醫(yī)生說(shuō)你得病、你就真的得病了嗎？

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