坐標(biāo)變換(1)—向量和坐標(biāo)系

1. 標(biāo)量

在介紹向量之前，有必要介紹一下標(biāo)量(scalar)，標(biāo)量是一個(gè)數(shù)字，只有大小，沒有方向(不過有正負(fù))。例如溫度，重量等。

2. 向量

向量(vector)是多個(gè)數(shù)字組成的列表。n個(gè)有次序的數(shù)x_1,x_2,\cdots,x_n所組成的數(shù)組列表稱為n維向量。
向量可以有兩種方式去描述：

  1. 空間中的一個(gè)點(diǎn)，而有次序的數(shù)字可以確定點(diǎn)在空間中的位置；
  2. 將向量描述為有大小和方向的一個(gè)量，例如一輛正在行駛的自動(dòng)駕駛車輛的速度為正東方向50km/h。這時(shí)候向量就是一個(gè)從坐標(biāo)原點(diǎn)指向終點(diǎn)(由有次序的數(shù)字確定)的一個(gè)矢量。

如下向量\left[\begin{array}{l} {4} & {3} \end{array}\right]^{T}，

3. 線性空間

設(shè)V為一個(gè)非空集合，R為實(shí)數(shù)域(這里只討論實(shí)數(shù)域)。如果對(duì)于任意兩個(gè)元素\alpha,\beta\in V,總有唯一的元素\gamma \in V與之對(duì)應(yīng)，則稱為\alpha,\beta的和，記為\gamma = \alpha+\beta。對(duì)于任意數(shù)\lambda \in R與任意元素\alpha \in V，總有唯一的一個(gè)元素\delta \in V與之對(duì)應(yīng)，稱為\lambda和\alpha的積，記為\delta = \lambda\alpha，并且和與積兩種運(yùn)算滿足以下8條運(yùn)算規(guī)則(設(shè)\alpha,\beta,\gamma\in V，\lambda,\mu\in R)：

  1. \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}；
  2. (\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})+\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}+(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma})；
  3. 在V中存在0元素，對(duì)任意\alpha\in V，都有，\alpha+0=\alpha；
  4. 對(duì)任意\alpha \in V，都有\alpha的負(fù)元素\beta \in V，使\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}；
  5. 1 \alpha=\alpha;
  6. \lambda(\mu \boldsymbol{a})=(\lambda \mu) \boldsymbol{a};
  7. (\lambda+\mu) \boldsymbol{\alpha}=\lambda \boldsymbol{\alpha}+\mu \boldsymbol{a};
  8. \lambda(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=\lambda \boldsymbol{\alpha}+\lambda \boldsymbol{\beta}。

那么V稱為實(shí)數(shù)域R上的線性空間(向量空間)，V中的元素稱為(實(shí))向量。線性空間中，對(duì)加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉。

4. 維數(shù)，基和坐標(biāo)

在線性空間V中，如果存在n個(gè)元素a_1,a_2,\cdots,a_n，滿足：

  1. a_1,a_2,\cdots,a_n線性無關(guān)；
  2. V中任意元素可由a_1,a_2,\cdots,a_n線性表示。

則稱a_1,a_2,\cdots,a_n為線性空間V的一組基，n稱為線性空間V的維數(shù)。

因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=a_1%2Ca_2%2C%5Ccdots%2Ca_n" alt="a_1,a_2,\cdots,a_n" mathimg="1">是一組基，所以線性空間V中任意的元素\alpha，總有且僅有一組有序數(shù)字x_1,x_2,\cdots,x_n，使得，

\boldsymbol{\alpha}=x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n}

x_1,x_2,\cdots,x_n這組有序數(shù)字就稱為元素\alpha在基a_1,a_2,\cdots,a_n下的坐標(biāo)，記做，

\boldsymbol{\alpha}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{\mathrm{T}}

當(dāng)然這個(gè)坐標(biāo)也就是最開始提到的向量，而基也就是經(jīng)常提到的坐標(biāo)系，不同的坐標(biāo)系只是對(duì)應(yīng)了不同的基。

以三維線性空間為例，任何三個(gè)線性無關(guān)的向量都能構(gòu)成一組基，都對(duì)應(yīng)一個(gè)坐標(biāo)系。同一個(gè)向量在不同的基下的坐標(biāo)不同，也就是在不同的坐標(biāo)系下的描述不同(但向量是同一個(gè))。

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